Арифметические операции с комплексными числами

Арифметические операции с комплексными числами

Комплексные числа возникают в связи с задачей решения квадратных уравнений. Так, оставаясь в множестве действительных чисел, невозможно решить квадратное уравнение, дискриминант которого меньше нуля.

Комплексные числа необходимы в различных приложениях математики. В частности, теория функций комплексной переменной является действенным инструментом при использовании математических методов в различных областях науки.

Арифметические операции над комплексными числами. Комплексная плоскость

Комплексным числом называется выражение вида z = х + iy, где х и у действительные числа, / — мнимая единица.

Число х называется действительной частью числа z и обозначается Re(z) (от франц. reele «действительный»), а число у — мнимой частью числа z и обозначается Im(z) (от франц. imagina- ire «мнимый»), т.е. х = Re(z), у = Im(z).

Действительное число х является частным случаем комплексного z = х + iy при у = 0. Комплексные числа вида z = х + iy, не являющиеся действительными, т.е. при у ф 0, называются мнимыми, а при х = 0 у^О, т.е. числа вида z = iy чисто мнимыми.

Числа z = x+iy и z=x-iy называются сопряженными.

Два комплексных числа z=x + iy и Z2 = Х2 + iyj называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. z =Z2, если Re(zj) = Re(z2), Im(zi) = Im(z2). В частности, z = 0, если Re(z) = 0 и lm(z) = 0.

Арифметические операции на множестве комплексных чисел определяются следующим образом.

1.Сложение (вычитание) комплексных чисел

2. Умножение комплексных чисел В частности,

/ 2 = (0 + /1)(0 + /1) = (0 — 1) + /(0 + 0) = -1, т.е. мнимая единица есть число, квадрат которого равен —1.

3. Деление двух комплексных чисел

Нетрудно убедиться в том, что все арифметические операции (16.1) — (16.3) над комплексными числами определяются естественным образом из правил сложения и умножения многочленов х + iy и Х2 + iy2, если считать / 2 = —1. Например, произведение комплексных чисел (16.2) есть

D> Пример 16.1. Даны комплексные числа z = 12 + 5/, Z2 = 3 — 4/. Найти z ± Z2, zjZ2, z Д2.

P e ш e н и e. zi + Z2 = (12 + 5/) + (3 — 4/) = 15 + /, z, — z2 = (12 + 5/) — (3 — 4/) = 9 + 9/.

zjz2 = (12 + 5/) (3 — 40 = 36+ 15/ -48/ —20/ 2 = 56 — 33/

  • (учли, ЧТО / 2 = —1). z, 12 + 5/ ЛГ
  • — =-. Умножая числитель и знаменатель на сопряженное

делителю комплексное число 3 + 4/, получим

Если для геометрического изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для изображения комплексных чисел служат точки координатной плоскости Оху.

Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу z = х + iy ставится в соответствие точка плоскости z(x, у), причем это соответствие взаимно однозначное (рис. 16.1).

Оси Ох и Оу, на которых расположены действительные числа z = х + 0/ = х и чисто мнимые числа z = 0 + iy= iy, называются соответственно действительной и мнимой осями.

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на GitHub.

Содержание

Введение

Известно, что область определения некоторых функций на множестве вещественных чисел ограничена. Например функция определена для , аналогично можно вспомнить, что функция определена для , а функция определена для .

Однако, ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел не означает, что , или не имеют смысла. Ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел говорит лишь о том, что не может быть представлено вещественным числом. Действительно, среди вещественных чисел не найти такого числа , квадрат которого был бы равен .

При решении квадратных уравнений часто возникает ситуация, когда дискриминант отрицательный. В этом случае это означает что парабола не пересекает прямую абсцисс ни в одной точке. Другими словами, корни квадратного уравнения не существуют среди вещественных значений и их также надо искать за пределами вещественных чисел.

Все бесконечное множество вещественных чисел можно представить в виде одной числовой прямой (смотри рисунок 1), на которой мы можем откладывать рациональные и иррациональные вещественные числа. Но на этой прямой нет числа , значит его надо искать вне числовой прямой. Таким образом мы должны расширить множество вещественных чисел до множества в котором значения , или уже не бессмысленны, а являются такими же обычными числами в этом расширенном множестве, как на множестве вещественных чисел.

Комплексная плоскость и мнимая единица

Естественным расширением числовой прямой является плоскость, которую называют комплексной плоскостью. Числовая прямая вещественных чисел и ее расширение до комплексной плоскости показано на рисунке 1. Любая точка на комплексной плоскости определяет одно комплексное число. Например на рисунке 1 показано число .

Читайте также:  Тренажер сравнение целых чисел

Значение вещественного числа однозначно определяет его позицию на числовой прямой, однако для определения позиции на плоскости одного числа недостаточно.

Для «навигации» по комплексной плоскости вводятся две прямые и , которые пересекаются в начале координат. Прямая это числовая прямая, называемая реальной осью, на которой лежат все вещественные числа. Прямая называется мнимой осью и она перпендикулярна реальной оси . Оси и делят комплексную плоскость на четверти, как это показано на рисунке 1.

Любая точка комплексной плоскости задается двумя координатами и по осям и соответственно. При этом само комплексное число можно записать как , где называется реальной частью и задает координату точки комплексной плоскости на вещественной прямой , а называется мнимой частью и задает координату точки комплексной плоскости на мнимой оси .

Для того чтобы отделить одну координату от другой (реальную и мнимую части) вводят число , называемое мнимой единицей. Это так раз то число, которого не существует на множестве действительных чисел. Оно обладает особым свойством: . Тогда комплексное число может не только перемещаться по вещественной прямой вправо и влево, но и двигаться по комплексной плоскости потому что мы добавили ему слагаемое с мнимой единицей .

Мнимую единицу в математической литературе принято обозначать как , но в технике буква уже закреплена за обозначением электрического тока, поэтому чтобы избежать путаницы мы будем обозначать мнимую единицу буквой .

Если и , тогда число является действительным и располагается на реальной оси .

Если и , тогда число является чисто мнимым и располагается на мнимой оси .

Если и , тогда число располагается в одной из четвертей комплексной плоскости.

Модуль и фаза комплексного числа

Представление комплексного числа как называют алгебраической формой записи. Если из начала координат комплексной плоскости к точке восстановить вектор (смотри рисунок 1), то можно вычислить длину этого вектора как

Связь реальной и мнимой частей комплексного числа с его амплитудой и фазой представлено следующим выражением:

Связь угла поворота вектора комплексного числа с реальной и мнимой частью комплексного числа, представленного в алгебраической форме:

На рисунке 2 показаны значения параметра , в зависимости от того в какой четверти комплексной плоскости расположено число.

На рисунке 2а исходное комплексное число расположено в первой четверти комплексной плоскости и .

Тогда и значение фазы комплексного числа равно:

Рассмотрим случай, когда комплексное число расположено во второй четверти комплексной плоскости (рисунок 2б), т.е. и . В этом случае и угол также будет отрицательным (красная пунктирная линия). Тогда для того, чтобы получить корректное значение фазы необходимо ввести поправку рад:

Пусть комплексное число расположено в третьей четверти комплексной плоскости (рисунок 2в), т.е. и . В этом случае и угол будет положительным (красная пунктирная линия). Тогда для того, чтобы получить корректное значение фазы необходимо ввести поправку рад:

Если расположено в четвертой четверти комплексной плоскости (рисунок 2г), т.е. и , то в этом случае и угол будет отрицательным и равным фазе комплексного числа без поправок ( рад):

Функция которая позволяет получить фазу комплексного числа c учетом четверти комплексной плоскости в которой расположено комплексное число называется функция арктангенс-2 и обозначается .

Функция арктангенс-2 присутствует во всех математических приложениях и может быть использована для расчета верного угла поворота вектора комплексного числа.

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера

Мы уже рассмотрели алгебраическую и тригонометрическую формы записи комплексного числа. Помимо алгебраической и тригонометрической формы существует также показательная форма комплексного числа:

Cоотношение (12) легко доказать, если произвести разложение экспоненты в ряд Тейлора:

Представим ряд (13) в виде суммы четных и нечетных членов последовательности:

Рассмотрим более подробно мнимую единицу в четной и нечетной степенях.

Из определения мнимой единицы можно сделать вывод, что , тогда , в свою очередь .

Таким образом, можно сделать вывод что .

Построим аналогичным образом соотношение для нечетных степеней: , тогда , в свою очередь и окончательно можно записать: . Тогда (14) можно представить как:

В выражении (15) первая сумма по четным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции , а вторая сумма по нечетным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции . Таким образом, получено доказательство справедливости формулы Эйлера (12).

Необходимо отметить, что формула Эйлера является одной из важнейших в теории функций комплексного переменного. Так например при помощи формулы Эйлера можно связать математические константы и с использованием мнимой единицы :

Читайте также:  Переустановить мазилу с сохранением закладок

Операции над комплексными числами. Комплексно-сопряженные числа

В данном параграфе мы кратко рассмотрим операции над комплексными числами. Сумма двух комплексных чисел и представляет собой комплексное число

При сложении реальные и мнимые части комплексного числа также складываются. На комплексной плоскости операцию сложения можно реализовать как сложение векторов комплексных чисел по правилу параллелограмма (рисунок 3а).

Разность двух комплексных чисел и представляет собой комплексное число

При вычитании реальные и мнимые части комплексного числа также вычитаются. На комплексной плоскости операцию вычитания можно реализовать как вычитание векторов по правилу параллелограмма (рисунок 3б). На первом шаге из вектора формируется вектор (обозначенный пунктирной линией на рисунке 3б), после чего вектор складывается с вектором по правилу параллелограмма.

Для того чтобы получить формулу для умножения комплексных числен необходимо перемножить два комплексных числа по правилу умножения многочленов:

Умножение комплексных проще выполнять если числа представлены в показательной форме:

При перемножении в показательной форме модули комплексных чисел перемножаются а фазы складываются. Операция произведения комплексных чисел показано на рисунке 3в.

Введем понятие комплексно-сопряженного числа. Число является комплексно-сопряженным числу .

Комплексно-сопряженные числа отличаются знаком перед мнимой частью.

Графически комплексно-сопряженные числа показаны на рисунке 3г.

При этом можно заметить, что модули комплексно-сопряженных чисел равны , а фазы имеют противоположные знаки.

Произведение комплексно-сопряженных чисел

Из элементарных операций нам осталось рассмотреть лишь деление комплексных чисел. Рассмотрим результат деления комплексных чисел в показательной форме:

Таким образом, при делении комплексных чисел модуль частного равен частному модулей исходных чисел, а фаза равна разности фаз исходных чисел.

При этом необходимо потребовать, чтобы был не равен нулю, иначе у нас появится деление на ноль при расчете модуля частного.

Рассмотрим теперь деление комплексных чисел в алгебраической форме:

Домножим и числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное знаменателю:

Выводы

В данной статье введено понятие комплексного числа и рассмотрены основные его свойства. Введено понятие мнимой единицы.

Подробно рассмотрена комплексная плоскость и представление комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Введены понятия модуля и фазы комплексного числа.

Рассмотрены основные арифметические операции над комплексными числами.

Показано как выполнять операции сложения, вычитания в алгебраической форме, введено понятие комплексно-сопряженных чисел, а также операции умножения и деления в показательной и алгебраической формах.

Над комплексными числами можно выполнять следующие действия:

  • сложение;
  • вычитание;
  • умножение;
  • деление;
  • возведение комплексного числа в степень;
  • извлечение корня $n$—й степени из комплексного числа.

Операции сложения и вычитания выполняются для чисел, представленных в алгебраической форме.

Умножение, деление и возведение в степень выполняются для чисел, представленных в любой форме записи.

Извлечение корня выполняется для чисел, представленных в тригонометрической форме.

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:

  • $a$ — вещественная (действительная) часть;
  • $b$ — мнимая часть.

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=rcdot (cos varphi +isin varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ — модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=sqrt <2>+b^ <2>> $, $varphi $ — аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $varphi =arctgfrac $.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=rcdot e^ $ называется показательной формой записи, где число $r$ — модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=sqrt <2>+b^ <2>> $, $varphi $ — аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $varphi =arctgfrac $.

При необходимости извлечения корня из комплексного числа, записанного в показательной форме, необходимо предварительно привести его к тригонометрической форме представления.

Сумма комплексных чисел

Суммой двух заданных комплексных чисел $z_ <1>=a_ <1>+b_ <1>i$ и $z_ <2>=a_ <2>+b_ <2>i$ является комплексное число, которое определяется равенством [z_ <1>+z_ <2>=(a_ <1>+b_ <1>i)+(a_ <2>+b_ <2>i)=(a_ <1>+a_ <2>)+(b_ <1>+b_ <2>)cdot i.]

Разность комплексных чисел

Разностью двух заданных комплексных чисел $z_ <1>=a_ <1>+b_ <1>i$ и $z_ <2>=a_ <2>+b_ <2>i$ является комплексное число, которое определяется равенством [z_ <1>-z_ <2>=(a_ <1>+b_ <1>i)-(a_ <2>+b_ <2>i)=(a_ <1>-a_ <2>)+(b_ <1>-b_ <2>)cdot i.]

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Выполнить действия: 1) $z_ <1>+z_ <2>$2) $z_ <1>-z_ <2>$ для заданных комплексных чисел $z_ <1>=2+4i$ и $z_ <2>=1-3i$.

1) По определению имеем: $z_ <1>+z_ <2>=(a_ <1>+a_ <2>)+(b_ <1>+b_ <2>)cdot i$

Читайте также:  Как делать простые мультики на компьютере

Для исходных чисел получаем:

2) По определению имеем: $z_ <1>-z_ <2>=(a_ <1>-a_ <2>)+(b_ <1>-b_ <2>)cdot i$

Для исходных чисел получаем:

Произведение комплексных чисел

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_ <1>=a_ <1>+b_ <1>i$ и $z_ <2>=a_ <2>+b_ <2>i$ является комплексное число, которое получается перемножением данных чисел по правилам алгебры с учетом того, что $i^ <2>=-1$.

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_ <1>=r_ <1>cdot (cos varphi _ <1>+isin varphi _ <1>)$ и $z_ <2>=r_ <2>cdot (cos varphi _ <2>+isin varphi _ <2>)$ является комплексное число, которое определяется равенством

[z_ <1>cdot z_ <2>=r_ <1>cdot r_ <2>cdot [cos (varphi _ <1>+varphi _ <2>)+isin (varphi _ <1>+varphi _ <2>)].]

Выполнить умножение комплексных чисел представленных в алгебраической форме:

Для исходных чисел, учитывая определение, получаем:

[1cdot 2+3cdot 2i+1cdot (-2i)+3icdot (-2i)=2+6i-2i-6i^ <2>=2+4i+6=8+4i]

Выполнить умножение комплексных чисел представленных в тригонометрической форме:

$z_ <1>=3sqrt <3>cdot (cos frac<pi > <2>+icdot sin frac<pi > <2>)$ и $z_ <2>=2cdot (cos pi +icdot sin pi )$.

1) По определению имеем: $z_ <1>cdot z_ <2>=r_ <1>cdot r_ <2>cdot [cos (varphi _ <1>+varphi _ <2>)+isin (varphi _ <1>+varphi _ <2>)]$

Для исходных чисел получаем:

[egin <1>cdot z_ <2>=left(3sqrt <3>cdot (cos frac<pi > <2>+icdot sin frac<pi > <2>)
ight)cdot left(2cdot (cos pi +i cdot sin pi )
ight)=6cdot sqrt <3>cdot left[cos left(frac<pi > <2>+pi
ight)+icdot sin left(frac<pi > <2>+pi
ight)
ight]=> \ <=6sqrt<3>cdot left(cos frac<3pi > <2>+icdot sin frac<3pi > <2>
ight)> end
]

Частное комплексных чисел

Частным двух заданных комплексных чисел $z_ <1>=r_ <1>cdot (cos varphi _ <1>+isin varphi _ <1>)$ и $z_ <2>=r_ <2>cdot (cos varphi _ <2>+i sin varphi _ <2>)$ является комплексное число, которое определяется равенством

[z_ <1>div z_ <2>=frac <1>> <2>> cdot [cos (varphi _ <1>-varphi _ <2>)+isin (varphi _ <1>-varphi _ <2>)].]

Чтобы выполнить операцию деления комплексных чисел, представленных в алгебраической форме, необходимо:

  • представить запись операции деления в виде дроби;
  • числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряженное знаменателю;
  • привести полученное выражение к алгебраической записи.

Выполнить деление комплексных чисел, представленных в алгебраической форме:

Для исходных чисел получаем:

Выполнить деление комплексных чисел представленных в тригонометрической форме:

$z_ <1>=3cdot left(cos frac<2pi > <3>+icdot sin frac<2pi > <3>
ight)$ и $z_ <2>=2cdot (cos 2pi +icdot sin 2pi )$.

По определению имеем: $z_ <1>div z_ <2>=frac <1>> <2>> cdot [cos (varphi _ <1>-varphi _ <2>)+isin (varphi _ <1>-varphi _ <2>)]$

Для исходных чисел получаем:

[egin <frac<1>> <2>> =3cdot left(cos frac<2pi > <3>+icdot sin frac<2pi > <3>
ight)div left(2cdot (cos 2pi +icdot sin 2pi )
ight)=frac<3> <2>cdot left[cos left(frac<2pi > <3>-2pi
ight)+icdot sin left(frac<2pi > <3>-2pi
ight)
ight]=> \ <= frac<3> <2>cdot left(cos left(-frac<4pi > <3>
ight)+icdot sin left(-frac<4pi > <3>
ight)
ight)> end
]

Степерь комплексного числа

Степенью порядка $n$ некоторого комплексного числа $z=rcdot (cos varphi +isin varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством

[z^ =r^ cdot (cos nvarphi +isin nvarphi ).]

Данная формула называется формулой Муавра.

Выполнить действие $z^ <3>$, где $z=3cdot left(cos frac<pi > <4>+icdot sin frac<pi > <4>
ight)$.

По формуле Муавра получим:

[z^ <3>=3^ <3>cdot left(cos left(3cdot frac<pi > <4>
ight)+icdot sin left(3cdot frac<pi > <4>
ight)
ight)=27cdot left(cos frac <3pi > <4>+icdot sin frac<3pi > <4>
ight).]

Выполнить действие $z^ <100>$, где $z=1cdot left(cos frac<pi > <2>+icdot sin frac<pi > <2>
ight)$.

По формуле Муавра получим:

[z^ <100>=1^ <100>cdot left(cos left(100cdot frac<pi > <2>
ight)+icdot sin left(100cdot frac<pi > <2>
ight)
ight)=1cdot left(cos 50pi +icdot sin 50pi
ight)=1cdot left(cos 0+icdot sin 0
ight).]

Корень комплексного числа

Корнем $n$-й степени некоторого комплексного числа $z=rcdot (cos varphi +isin varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством

Выполнить действие $sqrt[<3>] $, где $z=4cdot (cos pi +icdot sin pi )$.

Для $k=0$ получаем: $w_ <1>=sqrt[<3>] =sqrt[<3>] <4>cdot left(cos frac<pi > <3>+icdot sin frac<pi > <3>
ight)$.

Для $k=1$ получаем: $w_ <2>=sqrt[<3>] =sqrt[<3>] <4>cdot left(cos frac<pi +2pi > <3>+icdot sin frac<pi +2pi > <3>
ight)=sqrt[<3>] <4>cdot left(cos pi +icdot sin pi
ight)$.

Для $k=2$ получаем: $w_ <3>=sqrt[<3>] =sqrt[<3>] <4>cdot left(cos frac<pi +4pi > <3>+icdot sin frac<pi +4pi > <3>
ight)=sqrt[<3>] <4>cdot left(cos frac<5pi > <3>+icdot sin frac<5pi > <3>
ight)$.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Ссылка на основную публикацию
Wpa2 psk как узнать пароль
Всем примет! Скорее всего вы зашли, чтобы прочесть про взлом WiFi c WPA2-PSK защитой. Начнем, наверное, с самого начала. После...
Psexec could not start
Я пытаюсь использовать PsExec для запуска процесса на удаленной машине. Я разместил этот вопрос на SO, но я понял, что...
Psuamain exe что за процесс
Файл psuamain.exe из Panda Security, SL является частью Panda Cloud Antivirus. psuamain.exe, расположенный в C:Program FilesPanda SecurityWACPSUAMain.exe с размером файла...
Wrong password try again перевод на русский
Criticism of Windows Vista — This article is about the criticism that applies specifically to Vista. For criticism applying to...
Adblock detector