Чему равен момент инерции диска

Чему равен момент инерции диска

Описание

Изображение

Моменты инерции

Комментарии

Тонкая цилиндрическая оболочка с открытыми концами радиуса r и массы m

[1]

Предполагается, что толщина корпуса пренебрежимо мала. Этот объект является частным случаем нижеследующего при r1=r2.

Кроме того, точка массы m на конце стержня длиной r имеет тот же момент инерции, а r называется радиусом инерции.

Толстостенная цилиндрическая труба с открытыми концами, внутреннего радиуса r1, внешнего радиуса r2, длиной h и массой m

[1] [2]

или при определении нормированной толщины tn = t/r и полагая r = r2,
тогда

При плотности ρ и той же геометрии:

Сплошной цилиндр радиуса r, высотой h и массы m

[1]

Это частный случай предыдущего объекта при r1=0. (Примечание: для правориентированной системы координат оси X-Y нужно поменять местами)

Тонкий твердый диск радиуса r и массы m


Это частный случай предыдущего объекта при h=0.

Тонкое кольцо радиуса r и массы m


Это частный случай тора при b=0 (см. ниже), а также частный случай толстостенной цилиндрической трубы с открытыми концами при r1=r2 и h=0.

Твёрдый шар радиуса r и массы m

[1]

Сферу можно представить как множество бесконечно тонких твёрдых дисков, радиус которых изменяется от 0 до r.

Пустотелая сфера радиуса r и массы m

[1]

Аналогично твёрдой сфере, пустотелую сферу можно рассматривать как множество бесконечно тонких колец.

Твёрдый эллипсоид с полуосями a, b и c, с осью вращения a и массой m

[3]
[3]

Твёрдый кубоид с высотой h, шириной w, глубиной d и массой m



Для аналогично ориентированного куба с длиной ребра , .

Твёрдый кубоид с высотой D, шириной W, длиной L, массой m и с осью вращения вдоль самой длинной диагонали.

Для куба с длиной ребра , .

Тонкая прямоугольная пластина высоты h, ширины w и массы m

[1]

[1]

Это выражение предполагает, что стержень имеет вид бесконечно тонкой, но жёсткой проволоки. Это частный случай предыдущего объекта для w = L и h = .

Тонкая прямоугольная пластина высоты h, ширины w и массы m
(Ось вращения в конце пластины)

Стержень длины L и массы m
(Ось вращения на конце стержня)

[1]

Это выражение предполагает, что стержень имеет вид бесконечно тонкой, но жёсткой проволоки. Это частный случай предыдущего объекта для h = L и w = .

Тороидальная труба радиуса a, радиуса сечения b и массы m.

Ось вращения относительно диаметра: [4]
Ось вращения относительно вертикальной оси: [4]

Плоскость многоугольника с вершинами , , , . и массой , равномерно распределенной на его объёму, вращающийся относительно оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через начало координат.

Бесконечный диск с нормально распределенной вокруг осей вращения массой по двум координатам

(т.е.

где: — плотность масс как функция x и y).

Две точечные массы M и m на расстоянии x друг от друга

Читайте также:  Кроссплатформенная игра что это

— приведённая масса.

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его сводится к вычислению интеграла

, (4.14)

в котором r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения.

Момент инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной оси. Пусть ось проходит через конец стержня А (рис. 4.4).

Для момента инерции можно написать IA = kml 2 , где l – длина стержня, k – коэффициент пропорциональности. Центр стержня С является его центром масс. По теореме Штейнера IA = IC + m(l/2) 2 . Величину IC можно представить как сумму моментов инерции двух стержней, СА и СВ, длина каждого из которых равна l/2, масса m/2, а следовательно, момент инерции равен Таким образом, IC = km(l/2) 2 . Подставляя эти выражения в формулу для теоремы Штейнера, получим

,

откуда k = 1/3. В результате находим

(4.15)

(4.16)

Момент инерции бесконечно тонкого круглого кольца (окружности). Момент инерции относительно оси Z (рис. 4.5) равен

где R – радиус кольца. Ввиду симметрии IX = IУ.

Формула (4.17) очевидно, дает также момент инерции полого однородного цилиндра с бесконечно тонкими стенками относительно его геометрической оси.

Момент инерции бесконечно тонкого диска и сплошного цилиндра. Предполагается, что диск и цилиндр однородны, т. е. вещество распределено в них с постоянной плотностью. Пусть ось Z проходит через центр диска С перпендикулярно к его плоскости (рис. 4.6). Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним радиусом r и наружным радиусом r + dr. Площадь такого кольца dS = 2prdr. Его момент инерции найдется по формуле (4.17), он равен dIz = r 2 dm. Момент инерции всего диска определяется интегралом Ввиду однородности диска dm = , где S = pR 2 – площадь всего диска. Вводя это выражение под знак интеграла, получим

(4.18)

Формула (4.18) дает также момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно его продольной геометрической оси.

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно момент инерции его относительно точки. Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений. Моментом инерции тела относительно точки О называется сумма произведений масс материальных точек, из которых тело состоит, на квадраты их расстояний R до точки О: q = ΣmR 2 . В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу q = ∫R 2 dm. Само собой понятно, что момент θ не следует смешивать с моментом инерции I относительно оси. В случае момента I массы dm умножаются на квадраты расстояний до этой оси, а в случае момента θ – до неподвижной точки.

Читайте также:  Как сделать зеркальное отображение фото в фотошопе

Рассмотрим сначала одну материальную точку с массой m и с координатами x, у, z относительно прямоугольной системы координат (рис. 4.7). Квадраты расстояний ее до координатных осей Х, Y, Z равны соответственно у 2 + z 2 , z 2 + x 2 , x 2 + у 2 , а моменты инерции относительно тех же осей

Но х 2 + у 2 + z 2 = R 2 , где R – расстояние точки m от начала координат О. Поэтому

Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но и для произвольного тела, так как тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке О, равна удвоенному моменту инерции того же тела относительно этой точки.

Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стенками.

Сначала найдем момент инерции θ относительно центра шара. Очевидно, он равен θ = mR 2 . Затем применяем формулу (4.19). Полагая в ней ввиду симметрии IX = IY = IZ = I. В результате находим момент инерции полого шара относительно его диаметра

. (4.20)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент — человек, постоянно откладывающий неизбежность. 11219 — | 7549 — или читать все.

Момент инерции тела относительно оси и относительно точки. Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки до оси. Чтобы найти момент инерции тела (с непрерывным распределением вещества) относительно оси, надо мысленно разбить его на такие малые элементы, чтобы каждый из них можно было считать материальной точкой бесконечно малой массыdm = dV. Тогда момент инерции тела относительно оси равен интегралу по объёму тела:

(1)

где r– расстояние элементаdmдо оси.

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто упрощается, если предварительно вычислить его момент инерции относительно точки .Он вычисляется по формуле, аналогичной (1):

(2)

где r– расстояние элементаdmдо выбранной точки (относительно которой вычисляется). Пусть эта точка является началом системы координатX, Y, Z(рис. 1). Квадраты расстояний элементаdmдо координатных осейX, Y, Z и до начала координат равны соответственноy 2 +z 2 , z 2 +x 2 , x 2 +y 2 , x 2 +y 2 +z 2 . Моменты инерции тела относительно осейX, Y, Zи относительно начала координат

Из этих соотношений следует, что

(3)

Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трёх любых взаимно перпендикулярных осей , проходящих через одну точку, равна удвоенному моменту инерции тела относительно этой точки.

Момент инерции тонкого кольца.Все элементы кольцаdm(рис. 2) находятся на одинаковом расстоянии, равном радиусу кольцаR,от его оси симметрии (осьY) и от его центра. Момент инерции кольца относительно осиY

Читайте также:  Сайт по долгам налоговой службы

(4)

Момент инерции тонкого диска.Пусть тонкий однородный диск массыmс концентрическим отверстием (рис. 3) имеет внутренний и внешний радиусыR1иR2. Мысленно разобьём диск на тонкие кольца радиусаr, толщиныdr. Момент инерции такого кольца относительно осиY(рис. 3, она перпендикулярна рисунку и не показана), в соответствии с (4):

(5)

Момент инерции диска:

(6)

В частности, полагая в (6) R1 = 0, R2 = R,получим формулу для вычисления момента инерции тонкого сплошного однородного диска относительно его оси:

(7)

Момент инерции диска относительно его оси симметрии не зависит от толщины диска. Поэтому по формулам (6) и (7) можно вычислять моменты инерции соответствующих цилиндров относительно их осей симметрии.

(8)

Момент инерции цилиндра.Пусть имеется полый симметричный цилиндр массыm, длины h, внутренний и внешний радиусы которого равныR1 и R2. Найдём его момент инерции относительно осиZ, проведенной через центр масс перпендикулярно оси цилиндра (рис. 4). Для этого мысленно разобьём его на диски бесконечно малой толщиныdy. Один из таких дисков, массойdm = mdy/h, расположенный на расстоянииyот начала координат, показан на рис. 4. Его момент инерции относительно осиZ, в соответствии с (8) и теоремой Гюйгенса – Штейнера

(9)

Момент инерции всего цилиндра

(10)

Момент инерции цилиндра относительно оси Z(оси вращения маятника) найдём по теореме Гюйгенса – Штейнера

где d– расстояние от центра масс цилиндра до осиZ. В работе 16 этот момент инерции обозначен какJц

(11)

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Нанесение экспериментальных точек и проведение по ним графика «на глаз», а также определение по графику абсцисс и ординат точек, не отличаются высокой точностью. Её можно повысить, если использовать аналитический метод. Математическое правило построения графика заключается в подборе таких значений параметров «а» и «в» в линейной зависимости вида у = ах + b, чтобы сумма квадратов отклонений уi (рис. 5) всех экспериментальных точек от линии графика была наименьшей (метод «наименьших квадратов»), т.е. чтобы величина

(1)

имела минимум. Здесь xi и yi  значения величин х и у в i-том измерении, n  количество измерений. Величина S будет минимальной, если её частные производные по параметрам а и b будут равны нулю:

(2)

(3)

где средние значения ,.

и (4)

и (5)

Ссылка на основную публикацию
Фум лента в стоматологии фото
Автор: G. Freedman Перевод: Александр Зыбайло Автор: G. Freedman Перевод: Александр Зыбайло Ограничение количества цемента для фиксации и использование определенной...
Усики для автомобильной антенны
Убираясь в бардачке я наткнулся на ремкомплект антенных усиков — лежит наверно уже полгода, всё наклеить не могу, то забываю,...
Усиление сигнала интернета на даче своими руками
С наступление дачного сезона, я озадачился установкой хорошего скоростного интернет на даче, у нас голосовая связь работает без проблем, а...
Функции жесткого диска в компьютере
Жесткий диск, он же винчестер, является основным местом, где хранится вся информация. В отличие от оперативной памяти, он энергетически независим,...
Adblock detector