Что называется минором элемента матрицы

Что называется минором элемента матрицы

Формула

Определение
Минор матрицы — это определитель $ n-1 $ порядка, составленный путём вычеркивания $ i $-ой строки и $ j $-го столбца из матрицы $ A $ порядка $ n $. Обозначается минор $ M_ $

Формула минора матрицы выводится для каждого элемента этой матрицы отдельно. Пусть задана квадратная матрица $ A $ порядка $ n = 3 $:

По определению каждый минор $ M_ $ равен определителю, получаемому при вычеркивании $ i $-ой строки и $ j $-ого столбца из матрицы $ A $.

Аналогично миноры находятся для любого порядка. В частности для матрицы второго порядка в определитель будет входить одно число.

Как найти?

Чтобы найти миноры матрицы $ M_ $ нужно составить определители, полученные путем вычеркивания из матрицы $ A $ соответствующие строку и столбец.

Пример для матрицы второго порядка:

Пример для матрицы третьего порядка:

Если полученный определитель:

  1. Первого порядка, то записываем оставшееся число
  2. Второго или третьего порядка, то вычисляем его по правилу треугольников
  3. Четвертого и выше порядка, то выполняем разложение по строке (столбцу), либо методом Гаусса

Примеры решений

Определить миноры матрицы:

Вычеркиваем нужную строку и столбец:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пример 1
Решение
Ответ
$$ M_ <11>= 5; M_ <12>= 0; M_ <21>= 1; M_ <22>= 2 $$

Найти миноры элементов на главной диагонали матрицы:

Минор

Минором $M_$ к элементу $a_$ определителя $n$-го порядка называется определитель $(n-1)$-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием $i$-той строки и $j$-того столбца.

Задание. Найти минор $ M_ <23>$ к элементу $ a_ <23>$ определителя $ left| egin <1>& <2>& <-1>\ <1>& <0>& <3>\ <7>& <8>& <4>end
ight| $ .

Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:

Алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением $ A_ $ к элементу $ a_ $ определителя $n$-го порядка называется число $ A_=(-1)^ cdot M_ $

Задание. Найти алгебраическое дополнение $ A_ <23>$ к элементу $ a_ <23>$ определителя $ left| egin <1>& <2>& <-1>\ <1>& <0>& <3>\ <7>& <8>& <4>end
ight| $ .

Сумма произведений элементов "произвольной" строки на алгебраические дополнения к элементам $i$-ой строки определителя равна определителю, в котором вместо $i$-ой строки записана "произвольная" строка.

Сумма произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.

Минор матрицы A ― определитель квадратной матрицы порядка k (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице A на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами .

Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые k строк и первые k столбцов ― угловым или ведущим главным.

Дополнительный минор элемента матрицы n-го порядка есть определитель порядка (n-1), соответствующий той матрице, которая получается из матрицы путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется число

,

где — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.

Определителем n-го порядка (определителем квадратной матрицы n-го порядка n), n>1, называется число, равное

где — определитель квадратной матрицы полученной из матрицы A вычеркиванием превой строки и j-го столбца.

Для определителей 2-го и 3-го порядка легко получить простые выражения через элементы матрицы.

Для определителей справедливы следующие утверждения, называемые свойствами определителей.

Определитель не изменяется при транспонировании: detA T =detA.

Если строка (столбец) матрицы A равна линейной комбинации соответственных строк (столбцов) матриц A и B, а остальные строки (столбцы) этих матриц совпадают, то ее определитель равен линейной комбинации определителей матриц A и B:

При перестановке любых двух строк (столбцов), определитель меняет знак.

Если в определителе есть две одинаковые строки (два одинаковых столбца), то он равен нулю.

Если в определителе есть две пропорциональные строки (два пропорциональные столбца), то он равен нулю.

Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (столбца) прибавить элементы любой другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Определитель, содержащий нулевую строку (нулевой столбец), равен нулю.

Сумма произведений элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (другого столбца) равна нулю.

Определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей.

Перечисленные свойства позволяют упростить вычисление определителя.

Пример. поскольку 1-я и 3-я строки пропорциональны.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10549 — | 7758 — или читать все.

Пример 2
Ссылка на основную публикацию
Что делать если завис телефон андроид
Что делать, если завис Андроид и не реагирует не на что? В этой статье мы посмотрим четыре простых способа как...
Фум лента в стоматологии фото
Автор: G. Freedman Перевод: Александр Зыбайло Автор: G. Freedman Перевод: Александр Зыбайло Ограничение количества цемента для фиксации и использование определенной...
Функции жесткого диска в компьютере
Жесткий диск, он же винчестер, является основным местом, где хранится вся информация. В отличие от оперативной памяти, он энергетически независим,...
Что дают за рейтинговые бои
В кои-то веки разработчики решили прислушаться к мнению игроков и ввести в Варфейс рейтинговые матчи. Теперь каждый игрок, достигший 26...
Adblock detector