Что такое размерность матрицы

Что такое размерность матрицы

Определение матрицы

Количество строк и столбцов задают размеры матрицы.

Обозначение

Матрица — это таблица данных, которая берется в круглые скобки:

A = 4 1 -7
-1 2

Матрица обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавитв. Матрица содержащая n строк и m столбцов, называется матрицей размера n×m . При необходимости размер матрицы записывается следующим образом: A n×m .

Элементы матрицы

Элементы матрицы A4×4:

A = 4 1 -7 2
-1 2 44
4 6 7 9
11 3 1 5

Демонстрация нулевых и ненулевых строк матрицы:

4 1 -7
1

Демонстрация нулевых и ненулевых столбцов матрицы:

1 -7 2

не не нулевой столбец

Диагонали матрицы

Демонстрация главной и побочной диагонали матрицы:

В данной теме рассмотрим понятие матрицы, а также виды матриц. Так как в данной теме немало терминов, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.

  1. Определение матрицы и её элемента. Обозначения (матрица, размер матрицы, элемент матрицы, равные матрицы).
  2. Виды матриц в зависимости от их размера. Главная и побочная диагонали. След матрицы.
  3. Виды матриц в зависимости от значений их элементов. (нулевая матрица, трапециевидная матрица, ступенчатая матрица, нижняя треугольная матрица, верхняя треугольная матрица, диагональная матрица, единичная матрица).

Определение матрицы и её элемента. Обозначения.

Матрица – это таблица из $m$ строк и $n$ столбцов. Элементами матрицы могут быть объекты совершенно разнообразной природы: числа, переменные или, к примеру, иные матрицы. Например, матрица $left( egin 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 end
ight)$ содержит 3 строки и 2 столбца; элементами её являются целые числа. Матрица $left(egin
a & a^9+2 & 9 & sin x \ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8end
ight)$ содержит 2 строки и 4 столбца.

Разные способы записи матриц: показатьскрыть

Матрица может быть записана не только в круглых, но и в квадратных или двойных прямых скобках. Ниже указана одна и та же матрица в различных формах записи:

Произведение $m imes n$ называют размером матрицы. Например, если матрица содержит 5 строк и 3 столбца, то говорят о матрице размера $5 imes 3$. Матрица $left(egin 5 & 3\0 & -87\8 & 0end
ight)$ имеет размер $3 imes 2$.

Обычно матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита: $A$, $B$, $C$ и так далее. Например, $B=left( egin 5 & 3 \ 0 & -87 \ 8 & 0 end
ight)$. Нумерация строк идёт сверху вниз; столбцов – слева направо. Например, первая строка матрицы $B$ содержит элементы 5 и 3, а второй столбец содержит элементы 3, -87, 0.

Элементы матриц обычно обозначаются маленькими буквами. Например, элементы матрицы $A$ обозначаются $a_$. Двойной индекс $ij$ содержит информацию о положении элемента в матрице. Число $i$ – это номер строки, а число $j$ – номер столбца, на пересечении которых находится элемент $a_$. Например, на пересечении второй строки и пятого столбца матрицы $A=left( egin 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 end
ight)$ расположен элемент $a_<25>=59$:

Точно так же на пересечении первой строки и первого столбца имеем элемент $a_<11>=51$; на пересечении третьей строки и второго столбца – элемент $a_<32>=-15$ и так далее. Замечу, что запись $a_<32>$ читается как "а три два", но не "а тридцать два".

Для сокращённого обозначения матрицы $A$, размер которой равен $m imes n$, используется запись $A_$. Нередко используется и такая запись:

Здесь $(a_)$ указывает на обозначение элементов матрицы $A$, т.е. говорит о том, что элементы матрицы $A$ обозначаются как $a_$. В развёрнутом виде матрицу $A_=(a_)$ можно записать так:

Читайте также:  Как создать базу данных в mysql workbench

$$ A_=left(egin a_ <11>& a_ <12>& ldots & a_ <1n>\ a_ <21>& a_ <22>& ldots & a_ <2n>\ ldots & ldots & ldots & ldots \ a_ & a_ & ldots & a_ end
ight) $$

Введём еще один термин – равные матрицы.

Запись "$i=overline<1,m>$" означает, что параметр $i$ изменяется от 1 до m. Например, запись $i=overline<1,5>$ говорит о том, что параметр $i$ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.

Итак, для равенства матриц требуется выполнение двух условий: совпадение размеров и равенство соответствующих элементов. Например, матрица $A=left(egin 5 & 3\0 & -87\8 & 0end
ight)$ не равна матрице $B=left(egin
8 & -9\0 & -87 end
ight)$, поскольку матрица $A$ имеет размер $3 imes 2$, а размер матрицы $B$ составляет $2 imes 2$. Также матрица $A$ не равна матрице $C=left(egin
5 & 3\98 & -87\8 & 0end
ight)$, поскольку $a_<21>
eq c_<21>$ (т.е. $0
eq 98$). А вот для матрицы $F=left(egin
5 & 3\0 & -87\8 & 0end
ight)$ можно смело записать $A=F$ поскольку и размеры, и соответствующие элементы матриц $A$ и $F$ совпадают.

Определить размер матрицы $A=left(egin -1 & -2 & 1 \ 5 & 9 & -8 \ -6 & 8 & 23 \ 11 & -12 & -5 \ 4 & 0 & -10 \ end
ight)$. Указать, чему равны элементы $a_<12>$, $a_<33>$, $a_<43>$.

Данная матрица содержит 5 строк и 3 столбца, поэтому размер её $5 imes 3$. Для этой матрицы можно использовать также обозначение $A_<5 imes 3>$.

Элемент $a_<12>$ находится на пересечении первой строки и второго столбца, поэтому $a_<12>=-2$. Элемент $a_<33>$ находится на пересечении третьей строки и третьего столбца, поэтому $a_<33>=23$. Элемент $a_<43>$ находится на пересечении четвертой строки и третьего столбца, поэтому $a_<43>=-5$.

Виды матриц в зависимости от их размера. Главная и побочная диагонали. След матрицы.

Пусть задана некая матрица $A_$. Если $m=1$ (матрица состоит из одной строки), то заданную матрицу называют матрица-строка. Если же $n=1$ (матрица состоит из одного столбца), то такую матрицу называют матрица-столбец. Например, $left( egin -1 & -2 & 0 & -9 & 8 end
ight)$ – матрица-строка, а $left( egin
-1 \ 5 \ 6 end
ight)$ – матрица-столбец.

Если для матрицы $A_$ верно условие $m
eq n$ (т.е. количество строк не равно количеству столбцов), то часто говорят, что $A$ – прямоугольная матрица. Например, матрица $left( egin -1 & -2 & 0 & 9 \ 5 & 9 & 5 & 1 end
ight)$ имеет размер $2 imes 4$, т.е. содержит 2 строки и 4 столбца. Так как количество строк не равно количеству столбцов, то эта матрица является прямоугольной.

Если для матрицы $A_$ верно условие $m=n$ (т.е. количество строк равно количеству столбцов), то говорят, что $A$ – квадратная матрица порядка $n$. Например, $left( egin -1 & -2 \ 5 & 9 end
ight)$ – квадратная матрица второго порядка; $left( egin
-1 & -2 & 9 \ 5 & 9 & 8 \ 1 & 0 & 4 end
ight)$ – квадратная матрица третьего порядка. В общем виде квадратную матрицу $A_$ можно записать так:

$$ A_=left(egin a_ <11>& a_ <12>& ldots & a_ <1n>\ a_ <21>& a_ <22>& ldots & a_ <2n>\ ldots & ldots & ldots & ldots \ a_ & a_ & ldots & a_ end
ight) $$

Читайте также:  Фнс миасс личный кабинет

Говорят, что элементы $a_<11>$, $a_<22>$, $ldots$, $a_$ находятся на главной диагонали матрицы $A_$. Эти элементы называются главными диагональными элементами (или просто диагональными элементами). Элементы $a_<1n>$, $a_<2 ; n-1>$, $ldots$, $a_$ находятся на побочной (второстепенной) диагонали; их называют побочными диагональными элементами. Например, для матрицы $C=left(egin2&-2&9&1\5&9&8& 0\1& 0 & 4 & -7 \ -4 & -9 & 5 & 6end
ight)$ имеем:

Элементы $c_<11>=2$, $c_<22>=9$, $c_<33>=4$, $c_<44>=6$ являются главными диагональными элементами; элементы $c_<14>=1$, $c_<23>=8$, $c_<32>=0$, $c_<41>=-4$ – побочные диагональные элементы.

Сумма главных диагональных элементов называется следом матрицы и обозначается $Tr A$ (или $Sp A$):

Например, для матрицы $C=left(egin 2 & -2 & 9 & 1\5 & 9 & 8 & 0\1 & 0 & 4 & -7\-4 & -9 & 5 & 6 end
ight)$ имеем:

Понятие диагональных элементов используется также и для неквадратных матриц. Например, для матрицы $B=left( egin 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \ 1 & 0 & 4 & -7 & -6 end
ight)$ главными диагональными элементами будут $b_<11>=2$, $b_<22>=-9$, $b_<33>=4$.

Виды матриц в зависимости от значений их элементов.

Если все элементы матрицы $A_$ равны нулю, то такая матрица называется нулевой и обозначается обычно буквой $O$. Например, $left( egin 0 & 0 \ 0 & 0 \ 0 & 0 end
ight)$, $left( egin
0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end
ight)$ – нулевые матрицы.

Рассмотрим некоторую ненулевую строку матрицы $A$, т.е. такую строку, в которой есть хоть один элемент, отличный от нуля. Ведущим элементом ненулевой строки назовём её первый (считая слева направо) ненулевой элемент. Для примера рассмотрим такую матрицу:

$$W=left(egin 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 & 12\ 0 & -9 & 5 & 9 end
ight)$$

Во второй строке ведущим будет четвёртый элемент, т.е. $w_<24>=12$, а в третьей строке ведущим будет второй элемент, т.е. $w_<32>=-9$.

Матрица $A_=left(a_
ight)$ называется ступенчатой, если она удовлетворяет двум условиям:

  1. Нулевые строки, если они есть, расположены ниже всех ненулевых строк.
  2. Номера ведущих элементов ненулевых строк образуют строго возрастающую последовательность, т.е. если $a_<1k_1>$, $a_<2k_2>$, . $a_$ – ведущие элементы ненулевых строк матрицы $A$, то $k_1ltltldotslt$.

Примеры ступенчатых матриц:

Для сравнения: матрица $Q=left(egin 2 & -2 & 0 & 1 & 9\0 & 0 & 0 & 7 & 9\0 & -5 & 0 & 10 & 6end
ight)$ не является ступенчатой, так как нарушено второе условие в определении ступенчатой матрицы. Ведущие элементы во второй и третьей строках $q_<24>=7$ и $q_<32>=10$ имеют номера $k_2=4$ и $k_3=2$. Для ступенчатой матрицы должно быть выполнено условие $k_2lt$, которое в данном случае нарушено. Отмечу, что если поменять местами вторую и третью строки, то получим ступенчатую матрицу: $left(egin
2 & -2 & 0 & 1 & 9\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \0 & 0 & 0 & 7 & 9end
ight)$.

Ступенчатую матрицу называют трапециевидной или трапецеидальной, если для ведущих элементов $a_<1k_1>$, $a_<2k_2>$, . $a_$ выполнены условия $k_1=1$, $k_2=2$. $k_r=r$, т.е. ведущими являются диагональные элементы. В общем виде трапециевидную матрицу можно записать так:

$$ A_> =left(egin a_ <11>& a_ <12>& ldots & a_ <1r>& ldots & a_<1n>\ 0 & a_ <22>& ldots & a_ <2r>& ldots & a_<2n>\ ldots & ldots & ldots & ldots & ldots & ldots\ 0 & 0 & ldots & a_ & ldots & a_\ 0 & 0 & ldots & 0 & ldots & 0\ ldots & ldots & ldots & ldots & ldots & ldots\ 0 & 0 & ldots & 0 & ldots & 0 end
ight) $$

Читайте также:  Как скопировать несколько ячеек в excel

Примеры трапециевидных матриц:

Дадим ещё несколько определений для квадратных матриц. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют верхней треугольной матрицей. Например, $left( egin 2 & -2 & 9 & 1 \ 0 & 9 & 8 & 0 \ 0 & 0 & 4 & -7 \ 0 & 0 & 0 & 6 end
ight)$ – верхняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении верхней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных над главной диагональю или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, – это несущественно. Например, $left( egin
0 & 0 & 9 \ 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 end
ight)$ – тоже верхняя треугольная матрица.

Если все элементы квадратной матрицы, расположенные над главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют нижней треугольной матрицей. Например, $left( egin 3 & 0 & 0 & 0 \ -5 & 1 & 0 & 0 \ 8 & 2 & 1 & 0 \ 5 & 4 & 0 & 6 end
ight)$ – нижняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении нижней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных под или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, – это неважно. Например, $left( egin
-5 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 9 end
ight)$ и $left( egin
0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 end
ight)$ – тоже нижние треугольные матрицы.

Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы этой матрицы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Пример: $left( egin 3 & 0 & 0 & 0 \ 0 & -2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 6 end
ight)$. Элементы на главной диагонали могут быть любыми (равными нулю или нет), – это несущественно.

Диагональная матрица называется единичной, если все элементы этой матрицы, расположенные на главной диагонали, равны 1. Например, $left(egin 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end
ight)$ – единичная матрица четвёртого порядка; $left(egin
1 & 0 \ 0 & 1 end
ight)$ – единичная матрица второго порядка.

Определители, свойства определителей.

Определителем второго порядка называется число равное произведению элементов стоящих на главной диагонали минус произведение элементов стоящих на побочной диагонали.

1) Транспонированный определитель равен данному.

2) Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца) равен нулю.

3) Постоянный множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя.

4) Определитель, имеющий 2 пропорциональные строки или столбца равен 0.

5) Определитель, имеющий строку (столбец) состоящей из нулей равен 0.

6) Если в определителе поменять местами 2 соседние строки (столбца), то это равносильно умножению определителя на -1.

7) Величина определителя не изменится, если к элементам какой либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженное на некоторое число.

8) Сумма произведений элементов какой либо строки или столбца на алгебраические дополнения другой строки или столбца равно 0.

Определение матрицы, элемента матрицы, размерности матрицы.

Матрицей размера или порядка m.n называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m строк и n столбцов.

называется элементом матрицы, находящимся на пересечении -той строки и -ого столбца;

Матрица имеет размерность mxn, где m – количество строк, n – количество столбцов.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома — страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 9189 — | 7396 — или читать все.

Ссылка на основную публикацию
Что делать если завис телефон андроид
Что делать, если завис Андроид и не реагирует не на что? В этой статье мы посмотрим четыре простых способа как...
Фум лента в стоматологии фото
Автор: G. Freedman Перевод: Александр Зыбайло Автор: G. Freedman Перевод: Александр Зыбайло Ограничение количества цемента для фиксации и использование определенной...
Функции жесткого диска в компьютере
Жесткий диск, он же винчестер, является основным местом, где хранится вся информация. В отличие от оперативной памяти, он энергетически независим,...
Что дают за рейтинговые бои
В кои-то веки разработчики решили прислушаться к мнению игроков и ввести в Варфейс рейтинговые матчи. Теперь каждый игрок, достигший 26...
Adblock detector