Цилиндр скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости

Цилиндр скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости

2019-02-20
На наклонную плоскость, образующую угол а с горизонтом, поместили куб и тонкостенный цилиндр. Коэффициент трения между кубом и плоскостью равен $mu$; коэффициент трения между цилиндром и плоскостью такой же. Ось цилиндра горизонтальна. Найдите ускорения, с которыми будут съезжать вниз куб и цилиндр и постройте графики зависимостей этих ускорений от $mu$. При каких $mu$ какая из фигур выиграет "гонку", если пустить тела по наклонной плоскости наперегонки (без начальной скорости)? Ускорение свободного падения $g$.

Проще всего найти ускорение куба. На наклонной плоскости на него действует сила тяжести $mg$, сила реакции опоры $N$ и сила, трения $F_ <тр>leq mu N$. Перпендикулярно плоскости силы скомпенсированы, $N = mg cos alpha$. Если куб скользит вниз, сила трения достигает предельного значения $F_ <тр>= mu N = mu mg cos alpha$. Проектируя все сины на направление движения, по второму закону Ньютона получаем

$ma_ <куба>= mg sin alpha — F_<тр>, a_ <куба>= g( sin alpha — mu cos alpha), mu leq tg alpha$.

Последнее неравенство означает, что ускорение куба всегда положительно. Если же это условие не выполняется, равенство $F_ <тр>= mu N$ превращается в неравенство $F_ <тр>tg alpha/2$ — только в этом случае цилиндр скатывается без проскальзывания.

Если же качение осуществляется с проскальзыванием, в формулу (1) следует подставить предельное значение силы трения — силу трения скольжения gmg cos a, что дает ответ, совпадающий с ускорением куба.

Осталось лишь свести результаты для ускорений фигур в виде граифков и заметить, что при $mu tg alpha$ куб вообще не едет, значит, снова выиграет цилиндр.
Ответ: Зависимости ускорений тел от коэффициента трения представлены на графике, см. рис., черный — куб, серый — цилиндр. При малых ($mu < tg alpha /2$) коэффициентах трения будет ничья. При бОльших — выиграет цилиндр.

Читайте также:  Как установить пароль на экран компьютера

Преподаватель сказал, что нужно решать через:
Iε= →
I* R= *Тут надо расписать *
И далее уже вывести ускорение
PS "I"-момент инерции; — a-тау, вроде как, тангенциальное ускорение

С тем, чтобы проиллюстрировать применение законов динамики твёрдого тела, решим задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости (рис. 10.5).

Сплошной цилиндр массы m и радиуса R скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости — a, а высота Н (Н » R). Начальная скорость цилиндра равна нулю. Определим время скатывания — Т и скорость центра масс цилиндра у основания наклонной плоскости.

При качении цилиндра на него действуют три силы: сила тяжести , упругая сила реакции опоры и сила трения покоя (ведь качение без проскальзывания!).

Представим это движение суммой двух движений: поступательного со скоростью VC, с которой движется ось цилиндра, и вращательного вокруг оси цилиндра с угловой скоростью w.

. (10.9)

Эта связь скоростей поступательного и вращательного движений следует из условия «движение без проскальзывания».

Продифференцировав уравнение (10.9) по времени, получим соотношение углового и линейного ускорений цилиндра:

, то есть .

Воспользовавшись теоремой о движении точки центра масс, опишем поступательное движение цилиндра:

. (10.10)

Для описания вращения воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения:

Спроецировав уравнение (10.10) на направления осей x и y, получим два скалярных уравнения:

Обратимся теперь к уравнению (10.11). Из трёх названных сил момент относительно оси цилиндра создаёт только сила трения:

.

Момент инерции сплошного цилиндра относительно его оси равен (см. лекцию №9):

.

Учитывая всё это, уравнение (10.11) перепишем так:

. (10.14)

Решая совместно уравнения (10.12) и (10.14), получим следующие значения неизвестных величин:

; (10.15)

. (10.16)

Из уравнения (10.15) следует, что с увеличением угла наклона a должна возрастать и сила трения покоя Fтр. Но, как известно, её рост ограничен предельным значением:

Читайте также:  Что такое диапазон лте

. (10.17)

Так как сила трения покоя (10.15) не может превышать предельного значения (10.17), то должно выполняться неравенство:

Отсюда следует, что скатывание будет происходить без проскальзывания до тех пор, пока угол a не превзойдёт значения aпред:

Здесь m — коэффициент трения цилиндра по плоскости.

Линейное ускорение цилиндра (10.16) величина неизменная, следовательно, поступательное движение цилиндра равноускоренное. При таком движении без начальной скорости цилиндр достигнет основания наклонной плоскости за время:

.

Здесь: l = — длина плоскости;

a =, (см.10.16).

Значит, время скатывания:

. (10.18)

Вычислим конечную скорость поступательного движения оси цилиндра:

. (10.19)

Заметим, что эту задачу можно решить проще, воспользовавшись законом сохранения механической энергии.

В системе, правда, присутствует сила трения, но её работа равна нулю, поскольку точка приложения этой силы в процессе спуска остаётся неподвижной: ведь движение происходит без проскальзывания. Раз нет работы силы трения, механическая энергия системы не меняется.

Рассмотрим энергию цилиндра в начальный момент — на высоте h и в конце спуска. Полная энергия цилиндра в этих положениях одинакова:

.

Вспомним, что и . Тогда уравнение закона сохранения энергии можно переписать так:

.

Отсюда легко найдём конечную скорость цилиндра:

,

которая блестяще подтверждает полученный нами ранее результат (10.19).

Лекция 11 «Элементы механики жидкости»

1. Давление жидкости. Законы гидростатики.

2. Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности потока.

3. Основной закон динамики для идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.

4. Применение уравнения Бернулли для решения задач гидродинамики.

4.1. Истечение жидкости из сосуда.

4.2. Манометрический расходомер.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8856 — | 7664 — или читать все.

Ссылка на основную публикацию
Фум лента в стоматологии фото
Автор: G. Freedman Перевод: Александр Зыбайло Автор: G. Freedman Перевод: Александр Зыбайло Ограничение количества цемента для фиксации и использование определенной...
Усики для автомобильной антенны
Убираясь в бардачке я наткнулся на ремкомплект антенных усиков — лежит наверно уже полгода, всё наклеить не могу, то забываю,...
Усиление сигнала интернета на даче своими руками
С наступление дачного сезона, я озадачился установкой хорошего скоростного интернет на даче, у нас голосовая связь работает без проблем, а...
Функции жесткого диска в компьютере
Жесткий диск, он же винчестер, является основным местом, где хранится вся информация. В отличие от оперативной памяти, он энергетически независим,...
Adblock detector