Дисперсия суммы двух зависимых случайных величин

Дисперсия суммы двух зависимых случайных величин

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величиныD(X) называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

1 свойство. Дисперсия постоянной величины C равна нулю; D(C) = 0.

Доказательство. По определению дисперсии, D(C) = M<[C – M(C)] 2 >.

Из первого свойства математического ожидания D(C) = M[(C – C) 2 ] = M(0) = 0.

2 свойство. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

Доказательство. По определению дисперсии, D(CX) = M

Из второго свойства математического ожидания D(CX)=M<[CX – CM(X)] 2 >= C 2 M<[X – M(X)] 2 >=C 2 D(X)

3 свойство. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

Доказательство. По формуле для вычисления дисперсии имеем

D(X + Y) = M[(X + Y ) 2 ] − [M(X + Y)] 2

Раскрыв скобки и пользуясь свойствами математического ожидания суммы нескольких величин и произведения двух независимых случайных величин, получим

D(X + Y) = M[X2+ 2XY + Y2] − [M(X) + M(Y )]2 = M(X2) + 2M(X)M(Y) + M(Y2) − M2(X) − 2M(X)M(Y) − M2(Y) = + = D(X) + D(Y). Итак, D(X + Y) = D(X) + D(Y)

4 свойство. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

Доказательство. В силу третьего свойства D(X − Y) = D(X) + D(–Y). По второму свойству

D(X − Y) = D(X) + (–1) 2 D(Y) или D(X − Y) = D(X) + D(Y)

Числовые характеристики систем случайных величин. Коэффициент корреляции, свойства коэффициента корреляции.

Корреляционный момент.Характеристикой зависимости между случайными величинами и служит математическое ожидание произведения отклонений и от их центров распределений (так иногда называют математическое ожидание случайной величины), которое называется корреляционным моментом или ковариацией:

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу:

а для непрерывных величин – формулу:

Коэффициентом корреляции rxy случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению среднеквадратичных отклонений величин:
— коэффициент корреляции;

Свойства коэффициента корреляции:

1. Если Х и У независимые случайные величины, то r =0;

2. -1≤ r ≤1 .При этом, если |r| =1, то между Х и У функциональная, а именно линейная зависимость;

3. r характеризует относительную величину отклонения М(ХУ) от М(Х)М(У), и т.к. отклонение имеет место только для зависимых величин, то rхарактеризует тесноту зависимости.

Линейная функция регрессии.

Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y), где X и У — зависимые случайные величины. Представим одну из величин как функцию другой. Ограничимся приближенным представлением (точное приближение, вообще говоря, невозможно) величины Y в виде линейной функции величины X:

где α и β — параметры, подлежащие определению.

Теорема. Линейная средняя квадратическая регрессия Y на X имеет вид

где mx=M(X), my=M(Y), σx=√D(X), σy=√D(Y), r=µxy/(σxσy)—коэффициент корреляции величин X и Y.

Коэффициент β=rσyx называют коэффициентом регрессии Y на X, а прямую

Читайте также:  Не работает клавиатура bloody

называют прямой среднеквадратической регрессии Y на X.

Неравенство Маркова.

Формулировка неравенства Маркова

Если среди значений случайной величины Х нет отрицательных, то вероятность того, что она примет какое-нибудь значение, превосходящее положительное число А, не больше дроби , т.е.

,

а вероятность того, что она примет какое-нибудь значение, не превосходящее положительного числа А, не меньше , т.е.

.

Неравенство Чебышева.

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε, не меньше, чем 1 −D[X]ε 2

Доказательство. Так как события, состоящие в осуществлении неравенств

Таким образом, задача сводится к вычислению вероятности P(|X –M(X)| ≥ ε).

Напишем выражение для дисперсии случайной величины X

Все слагаемые этой суммы неотрицательны. Отбросим те слагаемые, у которых |xi – M(X)|

Обе части неравенства |xj –M(X)| ≥ ε (j = k+1, k+2, . . ., n) положительны, поэтому, возведя их в квадрат, получим равносильное неравенство |xj – M(X)| 2 ≥ε 2 .Заменяя в оставшейся сумме каждый из множителей

|xj – M(X)| 2 числом ε 2 (при этом неравенство может лишь усилиться), получим

По теореме сложения, сумма вероятностей pk+1+pk+2+. . .+pn есть вероятность того, что X примет одно, безразлично какое, из значений xk+1 +xk+2 +. . .+xn, а при любом из них отклонение удовлетворяет неравенству |xj – M(X)| ≥ ε. Отсюда следует, что сумма pk+1 + pk+2 + . . . + pn выражает вероятность

Это позволяет переписать неравенство для D(X) так

D(X) ≥ ε 2 P(|X – M(X)| ≥ ε)

Теорема Чебышева.

Теорема Чебышева. Если — попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число ε, вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы

Доказательство. Введем в рассмотрение новую случайную величину — среднее арифметическое случайных величин

Найдем математическое ожидание Х. Пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), получим

(1)

Применяя к величине Х неравенство Чебышева, имеем

или, учитывая соотношение (1)

Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат; дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых), получим

По условию дисперсии всех случайных величин ограничены постоянным числом С, т.е. имеют место неравенства:

(2)

Подставляя правую часть (2) в неравенство (1) (отчего последнее может быть лишь усилено), имеем

Отсюда, переходя к пределу при n→∞, получим

Наконец, учитывая, что вероятность не может превышать единицу, окончательно можем написать

Читайте также:  Невоеннообязанный штамп в паспорте

Теорема Бернулли.

Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если ε — сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

Доказательство. Обозначим через X1 дискретную случайную величину — число появлений события в первом испытании, через X2 — во втором, . Xn — в n-м испытании. Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие A наступило) с вероятностью p и 0 (событие не появилось) с вероятностью .

Можно ли применить к рассматриваемым величинам теорему Чебышева? Можно, если случайные величины попарно независимы и дисперсии их ограничены. Оба условия выполняются Действительно, попарная независимость величин следует из того, что испытания независимы. Дисперсия любой величины равна произведению ; так как , то произведение не превышает 1/4и, следовательно, дисперсии всех величин ограничены, например, числом .

Применяя теорему Чебышева (частный случай) к рассматриваемым величинам, имеем

Приняв во внимание, что математическое ожидание a каждой из величин (т.е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании) равно вероятности p наступления события, получим

Остается показать, что дробь

равна относительной частоте появлений события A в испытаниях. Действительно, каждая из величин при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное единице; следовательно, сумма равна числу появлений события в испытаниях, а значит,

Учитывая это равенство, окончательно получим

Последнее изменение этой страницы: 2016-04-06; Нарушение авторского права страницы

Дисперсия — сумма

Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий; даже и тогда, когда эти две величины зависимы, для дисперсии их суммы существует простое выражение. [1]

Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий, этих величин. [2]

Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. [3]

Дисперсия суммы двух линейно зависимых измеряемых величин У и X равна D У Х В У — — В ЛТ 2г) длуая. Дисперсия оценок математического ожидания п независимых измеряемых величин X, имеющих одну и ту же плотность вероятности ( и, следовательно, равные математич. [4]

Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. [5]

Дисперсия суммы или разности независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. [6]

Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. [7]

Дисперсия суммы определяется как сумма дисперсий составляющих. [8]

Дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий этих величин. [9]

Дисперсия суммы любого конечного числа попарно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. [10]

Читайте также:  Почему айфон постоянно вибрирует

Найти дисперсию суммы числа очков , которые могут появиться на всех выпавших гранях. [11]

Далее, дисперсия суммы или разности взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. [12]

Чему равна дисперсия суммы некоррелированных случайных величин . [13]

Таким образом, дисперсия суммы или разности двух независимых величин равна сумме дисперсий слагаемых. Это положение легко распространяется на сумму любого числа независимых слагаемых с помощью тех же рассуждений, что и в случае двух слагаемых. [14]

Из ограниченности последовательности дисперсий сумм вытекает конечность дисперсии предельного закона. [15]

Величина равняется нулю, если случайные величины и независимы (свойство (E7) математического ожидания). С другой стороны, из равенства её нулю вовсе не следует независимость, как показывают примеры 34 и 35. Эту величину часто используют как «индикатор наличия зависимости» между двумя случайными величинами.

и получив аналогичные равенства для квадрата суммы слагаемых.

1. Если ковариация отлична от нуля, то величины и зависимы. Чтобы судить о наличии зависимости согласно любому из определений независимости, требуется знать совместное распределение пары и . Но найти совместное распределение часто бывает сложнее, чем посчитать математическое ожидание произведения и . Если нам повезёт, и математическое ожидание произведения и не будет равняться произведению их математических ожиданий, мы скажем, что и зависимы, не находя их совместного распределения! Это очень хорошо.

поэтому . Следовательно, и зависимы.

2. Величина не является «безразмерной»: если — объем газа в сосуде, а — давление этого газа, то ковариация измеряется в м 3 ·Па. Иначе говоря, при умножении или на какое-нибудь число ковариация тоже умножается на это число. Но умножение на число не сказывается на «степени зависимости» величин (они от этого «более зависимыми» не становятся), так что большое значение ковариации не означает более сильной зависимости. Это очень плохо.

Нужно как-то нормировать ковариацию, получив из неё «безразмерную» величину, абсолютное значение которой:

а) не менялось бы при умножении случайных величин на число;

б) свидетельствовало бы о «силе зависимости» случайных величин.

Говоря о «силе» зависимости между случайными величинами, мы имеем в виду следующее. Самая сильная зависимость — функциональная, а из функциональных — линейная зависимость, когда п.н. Бывают гораздо более слабые зависимости. Так, если по последовательности независимых случайных величин построить величины и , то эти величины зависимы, но очень «слабо»: через единственное общее слагаемое . Сильно ли зависимы число гербов в первых двадцати пяти подбрасываниях монеты и число гербов в испытаниях с двадцать пятого по девяностое?

Ссылка на основную публикацию
Где хранятся базы данных sql server
И ногда бывает нужно определить путь к базе данных в MS SQL Server Express . Сделать это совсем несложно ....
Вопросы по эксель с ответами
1. Для чего предназначена программа Microsoft Excel? А) Для редактирования текстов Б) Для редактирования картинок В) Для работы с таблицами...
Выберите факс модем или сервер
При установке роли факс-сервера, если факсимильное устройство не подключено к компьютеру, в папке «Принтеры» на панели управления будет автоматически создано...
Гоночный автомобиль едет по треку имеющему
Гоночный автомобиль едет по треку, имеющему на повороте радиусом R = 50 м угол наклона полотна дороги к горизонту α...
Adblock detector