Фигура повторяющая сама себя

Фигура повторяющая сама себя

Подобны сами себе

На свете много интересных устройств, позволяющих человеку совершать ранее недоступные действия. Однако не менее интересными могут быть и технологии, лежащие в основе этих вещей. Одним из самых увлекательных понятий, вошедших в научную жизнь в последнее время, стали фракталы.

Само слово «фрактал» взято из латинского языка и в буквальном переводе означает «дробленый» или «ломаный». Понятие было введено ученым Б. Мандельбротом и изначально описывало геометрическую фигуру, каждая следующая ступень увеличения которой подобна сама себе. Если присмотреться, то в природе окажется очень много таких вещей. Все могут представить раковину улитки или дерево с ветками. Да и сам человек подчиняется фрактальному алгоритму — например, наша кровеносная система из капилляров и более крупных артерий повторяет саму себя на разных уровнях.

Широкое развитие именно в наше время фрактальная геометрия получила не случайно. Только с развитием компьютерной техники стало возможно графически смоделировать законченную фигуру и изучить ее основные свойства.

Однако на начальном этапе интерес к этой области науки проявляли исключительно серьезные ученые, пытавшиеся применить новые знания для минимизации шумовых помех в электронных схемах или для снижения искажений при передаче информации на большие расстояния. Постепенно круг «посвященных» расширялся, и к графическим изображениям формул получали доступ специалисты, не занятые глубокими изысканиями. Красота получавшихся элементов просто завораживала, поэтому неудивительно, что первопроходцами массового освоения фрактальной геометрии стали художники.

Одним из первых был американец Лорен Карпентер, ставший впоследствии основателем всемирно известной студии компьютерной анимации Pixar. Он очень заинтересовался конкретными графическими примерами из книги Б. Мандельброта о возможностях фрактальной геометрии и решил применить несколько приведенных принципов для визуализации природного ландшафта с помощью компьютерной графики. С этой целью Карпентер брал один большой треугольник, дробил на четыре более мелких и продолжал итерации до тех пор, пока на экране монитора не появлялся более-менее правдоподобный горный массив.

Как оказалось, разработанный алгоритм получения изображения был настолько эффективным, что его взяли на вооружение все ведущие анимационные компании. Все современные алгоритмы генерирования окружающей обстановки в компьютерных играх или обучающих программах используют наработки Карпентера, почерпнутые им из фрактальной геометрии. Единственным отличием стала бóльшая детализация, вызванная увеличением быстродействия техники и, соответственно, возможностью разбивания конечного элемента на большее число ему подобных.

Сейчас оценить по достоинству возможности и красоту фракталов может любой желающий. В Сети имеется множество программ и сайтов, посвященных этой теме. С помощью программного обеспечения легко создать свой собственный неповторимый узор и поделиться этой «нереальной» красотой с друзьями.

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры.

Читайте также:  Что за песня со словами

Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:

  • Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, графикгладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.
  • Является самоподобным или приближённо самоподобным.
  • Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, система кровообращения, альвеолы.

Содержание

Примеры [ править | править код ]

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике [ править | править код ]

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

  • множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершённое множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины;
  • треугольник Серпинского («скатерть») и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости;
  • губка Менгера — аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;
  • примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции;
  • кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
  • кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата;
  • траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум [источник не указан 2615 дней] .

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых [ править | править код ]

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены первый, второй и четвёртый шаги этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

С помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений [ править | править код ]

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть ψ i , i = 1 , … , n <displaystyle psi _,,i=1,dots ,n> — сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости: Ψ : K ↦ ∪ i = 1 n ψ i ( K ) <displaystyle Psi colon Kmapsto cup _^psi _(K)>

Можно показать, что отображение Ψ <displaystyle Psi > является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения ψ i , i = 1 , … , n <displaystyle psi _,,i=1,dots ,n> — отображения подобия, а n <displaystyle n> — число звеньев генератора.

Читайте также:  Компьютер меняет разрешение экрана

Для треугольника Серпинского n = 3 <displaystyle n=3> и отображения ψ 1 <displaystyle psi _<1>> , ψ 2 <displaystyle psi _<2>> , ψ 3 <displaystyle psi _<3>> — гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении Ψ <displaystyle Psi > .

В случае, когда отображения ψ i <displaystyle psi _> — преобразования подобия с коэффициентами 0>"> r i > 0 <displaystyle r_>0> 0"/> , размерность s <displaystyle s> фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения r 1 s + r 2 s + ⋯ + r n s = 1 <displaystyle r_<1>^+r_<2>^+dots +r_^=1> . Так, для треугольника Серпинского получаем s = ln ⁡ 3 / ln ⁡ 2 <displaystyle s=ln 3/ln 2> .

По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения Ψ <displaystyle Psi > , мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.

Фракталы в комплексной динамике [ править | править код ]

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Пусть F ( z ) <displaystyle F(z)> — многочлен, z 0 <displaystyle z_<0>> — комплексное число. Рассмотрим следующую последовательность: z 0 , z 1 = F ( z 0 ) , z 2 = F ( F ( z 0 ) ) = F ( z 1 ) , z 3 = F ( F ( F ( z 0 ) ) ) = F ( z 2 ) , . . . <displaystyle z_<0>,z_<1>=F(z_<0>),z_<2>=F(F(z_<0>))=F(z_<1>),z_<3>=F(F(F(z_<0>)))=F(z_<2>). >

Нас интересует поведение этой последовательности при стремлении n <displaystyle n> к бесконечности. Эта последовательность может:

  • стремиться к бесконечности,
  • стремиться к конечному пределу,
  • демонстрировать в пределе циклическое поведение, например: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , . . . <displaystyle z_<1>,z_<2>,z_<3>,z_<1>,z_<2>,z_<3>. >
  • вести себя хаотично, то есть не демонстрировать ни один из трёх упомянутых типов поведения.

Множества значений z 0 <displaystyle z_<0>> , для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.

Так, множество Жюлиа — множество точек бифуркации для многочлена F ( z ) = z 2 + c <displaystyle F(z)=z^<2>+c> (или другой похожей функции), то есть тех значений z 0 <displaystyle z_<0>> , для которых поведение последовательности z n <displaystyle z_> может резко меняться при сколь угодно малых изменениях z 0 <displaystyle z_<0>> .

Другой вариант получения фрактальных множеств — введение параметра в многочлен F ( z ) <displaystyle F(z)> и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность z n <displaystyle z_> демонстрирует определённое поведение при фиксированном z 0 <displaystyle z_<0>> . Так, множество Мандельброта — это множество всех c ∈ C <displaystyle cin mathbb > , при которых z n <displaystyle z_> для F ( z ) = z 2 + c <displaystyle F(z)=z^<2>+c> и z 0 <displaystyle z_<0>> не стремится к бесконечности.

Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления z n <displaystyle z_> к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n <displaystyle n> , при котором | z n | <displaystyle |z_|> превысит фиксированную большую величину A <displaystyle A> ).

Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

Стохастические фракталы [ править | править код ]

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

  • траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
  • граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
  • эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.
  • различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.
Читайте также:  Пароль содержащий латинские буквы и цифры

Природные объекты, обладающие фрактальными свойствами [ править | править код ]

Природные объекты (квазифракталы) отличаются от идеальных абстрактных фракталов неполнотой и неточностью повторений структуры. Большинство встречающихся в природе фракталоподобных структур (границы облаков, линия берега, деревья, листья растений, кораллы, …) являются квазифракталами, поскольку на некотором малом масштабе фрактальная структура исчезает. Природные структуры не могут быть идеальными фракталами из-за ограничений, накладываемых размерами живой клетки и, в конечном итоге, размерами молекул.

Применение [ править | править код ]

Естественные науки [ править | править код ]

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.

Радиотехника [ править | править код ]

Фрактальные антенны [ править | править код ]

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику.

Коэн основал собственную компанию и наладил серийный выпуск своих антенн. C тех пор теория фрактальных антенн продолжает интенсивно развиваться. [1] [2] [3] Преимуществом таких антенн является многодиапазонность и сравнительная широкополосность.

Информатика [ править | править код ]

Сжатие изображений [ править | править код ]

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован [4] фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика [ править | править код ]

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

Децентрализованные сети [ править | править код ]

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Ссылка на основную публикацию
Усики для автомобильной антенны
Убираясь в бардачке я наткнулся на ремкомплект антенных усиков — лежит наверно уже полгода, всё наклеить не могу, то забываю,...
Телефонный шлюз что это
VoIP-шлюз — это межсетевой шлюз, предназначенный для перевода трафика между сетями различных типов. VoIP-шлюзы можно разделить на многоканальные и одноканальные:...
Телефонная клавиатура на компьютере
Виртуальная клавиатура выручит Вас, когда выйдет из строя основное физическое устройство ввода, полностью или частично ( поломается несколько клавиш )....
Усиление сигнала интернета на даче своими руками
С наступление дачного сезона, я озадачился установкой хорошего скоростного интернет на даче, у нас голосовая связь работает без проблем, а...
Adblock detector