Формула стокса для циркуляции

Формула стокса для циркуляции

Теорема Стокса
  1. Услуги проектирования
  2. Теория поля
  3. Теорема Стокса

Пусть в пространственной области $mathbf < extit < V >> $ задано гладкое векторное поле $sigma ar < a >$(M) и $sigma $ — незамкнутая кусочно-гладкая поверхность, ограниченная контуром $mathbf < extit < C >> $. Единичный вектор нормали $ar < n >(M)$ выбирается так, что с его конца направление обхода $mathbf < extit < C >> $ видно совершающимся против часовой стрелки. Тогда циркуляция поля $ar < a >$ по контуру $mathbf < extit < C >> $ равна потоку ротора этого поля через поверхность $sigma $: $ointlimits_C < ar < a >cdot dar < r >> =iintlimits_sigma < rot

ar < a >cdot ar < n >d > sigma $.

Приведённую формулу называют формулой Стокса в векторной форме. В координатной форме формула Стокса имеет вид

Пример непосредственного вычисления циркуляции векторного поля и вычисления по формуле Стокса

Требуется вычислить циркуляцию поля $ar < a >=yar < i >-ar < j >+xzar < k >$ по контуру $mathbf < extit < C >> $, образующемуся в результате пересечения поверхности $x+y+z^2=1$ с координатными плоскостями.

Решение. Непосредственное вычисление

$ Ц$=ointlimits_C < ar < a >cdot dar < r >> =ointlimits_C < ydx-dy+xzdz >=ointlimits_ < mathop < AB >limits^cup > < ar < a >cdot dar < r >> + ointlimits_ < mathop < BD >limits^cup > < ar < a >cdot dar < r >> +ointlimits_ < mathop < DA >limits^cup > < ar < a >cdot dar < r >> $

Итак, Ц$=W_1 +W_2 +W_3 =-frac < 3 > < 2 >+1-frac < 1 > < 4 >=-frac < 3 > < 4 >$.

Вычисление по формуле Стокса

Находим ротор поля $ar < a >$:$rot

Дальше требуется определить, что мы должны взять в качестве поверхности $sigma $ < или, как часто говорят, какую поверхность натянуть на контур $mathbf < extit < C >> $ > . В рассматриваемом случае ответ очевиден — единственная поверхность, которая у нас есть, это цилиндрическая поверхность $x+y+z^2=1$, следы которой в координатных плоскостях и образуют контур $mathbf < extit < C >> $.

Читайте также:  Что значит собака в вк

Однако возможны случаи, когда удачный выбор поверхности существенно упрощает вычисления. Пусть, например, контур С — окружность, образованная пересечением параболоида $z=x^2+y^2$ и конуса $z^2=x^2+y^2$. В качестве $sigma $ можно взять и часть параболоида и часть конуса, опирающиеся на эту окружность, но лучше всего взять часть плоскости $z=1$, ограниченную этой окружностью.

Вернёмся к задаче. Находим нормаль к $sigma : ar < n >=frac < ar < i >+ar < j >+2zar < k >> < sqrt < 1+1+4z^2 >> $, знак взят с учётом того, что должно быть $cos gamma >0$. Теперь $rot

ar < a >cdot ar < n >dsigma =-frac < 3z > < sqrt < 2+4z^2 >> cdot sqrt < 2+4z^2 >dxdz=-3zdxdz$.

Вычисляем Ц$=iintlimits_delta < rot

Самостоятельно доказать, что если $ar < a >(mathbf < extit < M >> )$ — плоское поле и $sigma $ лежит в плоскости $mathbf < extit < Оху >> $, то формула Стокса сводится к формуле Грина.

Инвариантное определение ротора

Пусть $Min V$. Возьмём малую плоскую площадку $sigma $, ограниченную контуром $mathbf < extit < C >> $. По теореме Стокса циркуляция по $mathbf < extit < C >> $ равна Ц$=ointlimits_C < ar < a >cdot dar < r >> =iintlimits_sigma < rot

ar < a >cdot ar < n >d > sigma $. Считая, что $rot

ar < a >$ мало меняется на $sigma $ и что поверхностный интеграл равен $rot

ar < a >(M)cdot ar < n >(M)sigma =vert rot

ar < a >(M)vert cos varphi cdot sigma $, получим Ц$=vert rot

ar < a >(M)vert cos varphi cdot sigma $.

Будем теперь крутить площадку вокруг точки $mathbf < extit < M >> $, при этом циркуляция меняется вместе с $cos varphi $. Максимальное значение циркуляция получит при $varphi =0$, т.е. когда направления $rot

Читайте также:  Фильм про ребенка который взломал наса

ar < a >(M)$ и $ar < n >(M)$ совпадут. Следовательно, $rot

ar < a >(M)$ указывает направление, вокруг которого циркуляция максимальна и равна Ц$_ < mbox < max >> =vert rot ar < a >(M)vert cdot sigma $. Модуль ротора определяется соотношением $vert rot ar < a >(M)vert =frac < mbox < Ц >_ < mbox < max >> > < sigma >$.

Далее:

Несобственные интегралы от неограниченной функции

Логические следствия

Булевы функции от $n$ переменных

Формула Гаусса — Остроградского

Дифференциальные характеристики векторного поля

Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация поверхности

Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода

Формулы. Равенство функций и эквивалентность формул. Основные эквивалентности

Решение задач с помощью алгебры высказываний

Несобственные интегралы по неограниченной области

Полином Жегалкина. Теорема о представлении в виде полинома Жегалкина

Свойства потока векторного поля

Класс Te . Теорема о замкнутости Te

Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай

Огравление $Rightarrow $

Ссылка на основную публикацию
Усики для автомобильной антенны
Убираясь в бардачке я наткнулся на ремкомплект антенных усиков — лежит наверно уже полгода, всё наклеить не могу, то забываю,...
Телефонный шлюз что это
VoIP-шлюз — это межсетевой шлюз, предназначенный для перевода трафика между сетями различных типов. VoIP-шлюзы можно разделить на многоканальные и одноканальные:...
Телефонная клавиатура на компьютере
Виртуальная клавиатура выручит Вас, когда выйдет из строя основное физическое устройство ввода, полностью или частично ( поломается несколько клавиш )....
Усиление сигнала интернета на даче своими руками
С наступление дачного сезона, я озадачился установкой хорошего скоростного интернет на даче, у нас голосовая связь работает без проблем, а...
Adblock detector