Формула возвращающей силы гармонических колебаний

Формула возвращающей силы гармонических колебаний

Поскольку при гармонических колебаниях

то, следовательно, возвращающая сила F равна

Итак, гармонические колебания вызываются упругими силами. Напомним, что упругими называют силы, величина которых пропорциональна смещению

Коэффициент упругости k имеет размерность

и зависит только от материала пружины.

Очевидно, k = mω 2 , откуда следует, что собственная частота гармонических колебаний зависит только от отношения коэффициента упругости к массе колеблющегося тела.

.

Система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором. Период собственных колебаний гармонического осциллятора определяется отношением массы m к коэффициенту упругости системы k:

Формулу ω 2 =k/m можно записать в виде

Возвращающая сила и смещение в маятнике показаны на рис. 8.

Рис. 8. Смещение х и возвращающая сила Fвозвр в маятнике

,

.

1. На одинаковых пружинах висят грузы m1 и m2 – см. рис. 9, причем m2 > m1. У какого груза период колебаний больше?

2. На разных пружинах висят грузы m1 и m2 (m2 > m1) – см. рис. 10. При подвешивании грузов оказалось, что удлинения пружин одинаковы. Для какого груза период колебаний будет больше?

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 11142 — | 8281 — или читать все.

При механических колебаниях колеблющееся тело (или материальная точка) обладает кинетической и потенциальной энергией. Кинетическая энергия тела W:

(Скорость тела v = ds/dt)

Для вычисления потенциальной энергии тела воспользуемся самой общей формулой, связывающей силу и потенциальную энергию тела в поле этой силы:

где U — потенциальная энергия, набираемая (или теряемая) телом, движущимся в силовом поле F от точки 0 (точки, в которой потенциальная энергия принимается равной 0) до точки х.

Для силы, линейно зависящей от смещения (как в случае наших механических маятников, такие силы носят общее название квазиупругих сил) мы имеем:

Сравнивая формулы
для кинетической и потенциальной энергии механического маятника, можно сделать следующие выводы:

1. Полная механическая энергия тела не изменяется при колебаниях:
2. Частота колебаний кинетической и потенциальной энергии в 2 раза больше частоты колебаний маятника.
3. Колебания кинетической и потенциальной энергии сдвинуты друг относительно друга по фазе на p (на полпериода). Когда кинетическая энергия достигает максимума, потенциальная — минимума (нуля) и наоборот. Энергия при колебаниях постоянно перекачивается из потенциальной в кинетическую и обратно.

Читайте также:  Музыка яндекс мобильная версия

В случае электрических колебаний энергия в конуре представляет собой сумму энергии электрического поля, запасенной между обкладками конденсатора, и энергии магнитного поля, запасенной в катушке с индуктивностью. Вычислим обе составляющие.

Сравнивая эти формулы, можно сделать следующие выводы:

1. Полная энергия в контуре остается неизменной:

2. Частота колебаний энергий в 2 раза превосходит частоту колебаний заряда и тока в контуре.
3. Электрическая и магнитная энергии сдвинуты по фазе на полпериода друг относительно друга; происходит непрерывное перекачивание энергии из одной формы в другую и обратно.

Поскольку в контуре происходят колебания электрической и магнитной энергий, электрический колебательный контур также называют электромагнитным.

Тело совершает гармонические колебания, если сила, возвращающая его в положение равновесия, пропорциональна смещению и направлена в противоположную этому смещению сторону. Такая сила называется квазиупругой.

На практике зависимость F(x) является более сложной. Однако, при малых значениях величины х эту функцию можно разложить в ряд:

|F(x)| = k·x + k1·x 2 + k2·x 3 + .

и пренебречь слагаемыми более высокого, чем 1 порядка малости. Следовательно, любая система с одной степенью свободы при достаточно малом отклонении от положения равновесия будет гармонически колебаться.

При максимальном отклонении грузика от положения равновесия вся энергия системы сосредоточена в потенциальной, и поэтому полная энергия колеблющейся системы может быть выражена через амплитуду колебаний и частоту:

E = kxmax 2 /2 = kA 2 /2 = mω 2 A 2 /2

Оказывается, этим свойстром обладают любые системы, колебание в которых происходит по гармоническому закону: энергия гармонического колебания (или волны) пропорциональна квадрату амплитуды этого колебания.

Единственным условием возникновения гармонических колебаний в рассмотренной системе оказалась линейная зависимость возвращающей силы от смещения. Такое условие выполняется при колебаниях многих (и не только механических) систем: это и малые колебания тела на длинной нерастяжимой нити в поле тяжести Земли (математический маятник), и колебания молекул, и электрические колебания в LC-контуре. Каждая из этих систем, обладающая свойством линейного возрастания возвращающей силы по мере удаления системы от положения равновесия, носит название линейного осциллятора (слово «осциллятор» происходит от латинского глагола, означающего «качаться»).

Читайте также:  Чем протирать объектив фотоаппарата

Дата публикования: 2015-01-25 ; Прочитано: 2928 | Нарушение авторского права страницы

studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2020 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.002 с) .

Колебательное движение — периодическое или почти периодическое движение тела, координата, скорость и ускорение которого через равные промежутки времени принимают примерно одинаковые значения.

Механические колебания возникают тогда, когда при выводе тела из положения равновесия появляется сила, стремящаяся вернуть тело обратно.

Смещение х — отклонение тела от положения равновесия.

Амплитуда А — модуль максимального смещения тела.

Период колебания Т — время одного колебания:

Частота колебания

— число колебаний, совершаемых телом за единицу времени: При колебаниях скорость и ускорение периодически изменяются. В положении равновесия скорость максимальна, ускорение равно нулю. В точках максимального смещения ускорение достигает максимума, скорость обращается в нуль.

ГРАФИК ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Гармоническими называются колебания, происходящие по закону синуса или косинуса:

где x(t) — смещение системы в момент t, A — амплитуда, ω — циклическая частота колебаний.

Если по вертикальной оси откладывать отклонение тела от положения равновесия, а по горизонтальной — время, то получится график колебания х = x(t) — зависимость смещения тела от времени. При свободных гармонических колебаниях — это синусоида или косинусоида. На рисунке представлены графики зависимости смещения х, проекций скорости V х и ускорения а х от времени.

Как видно из графиков, при максимальном смещении х скорость V колеблющегося тела равна нулю, ускорение а, а значит и действующая на тело сила, максимальны и направлены противоположно смещению. В положении равновесия смещение и ускорение обращаются в нуль, скорость максимальна. Проекция ускорения всегда имеет знак, противоположный смещению.

ЭНЕРГИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Полная механическая энергия колеблющегося тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергий и при отсутствии трения остается постоянной:

В момент, когда смещение достигает максимума х = А, скорость, а вместе с ней и кинетическая энергия, обращаются в нуль.

Читайте также:  Не работает кнопка переключения каналов

При этом полная энергия равна потенциальной энергии:

Полная механическая энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды его колебаний.

Когда система проходит положение равновесия, смещение и потенциальная энергия равны нулю: х = 0, Е п = 0. Поэтому полная энергия равна кинетической:

Полная механическая энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату его скорости в положении равновесия . Следовательно:

1. Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.

В положении равновесия сила тяжести компенсируется силой натяжения нити. Если маятник отклонить и отпустить, то силы и перестанут компенсировать друг друга, и возникнет результирующая сила , направленная к положению равновесия. Второй закон Ньютона:

При малых колебаниях, когда смещение х много меньше l, материальная точка будет двигаться практически вдоль горизонтальной оси х. Тогда из треугольника МАВ получаем:

Так как sin a = х/l , то проекция результирующей силы R на ось х равна

Знак "минус" показывает, что сила R всегда направлена против смещения х.

2. Итак, при колебаниях математического маятника, так же как и при колебаниях пружинного маятника, возвращающая сила пропорциональна смещению и направлена в противоположную сторону.

Сравним выражения для возвращающей силы математического и пружинного маятников:

Видно, что mg/l является аналогом k. Заменяя, k на mg/l в формуле для периода пружинного маятника

получаем формулу для периода математического маятника:

Период малых колебаний математического маятника не зависит от амплитуды.

Математический маятник используют для измерения времени, определения ускорения свободного падения в данном месте земной поверхности.

Свободные колебания математического маятника при малых углах отклонения являются гармоническими. Они происходят благодаря равнодействующей силы тяжести и силы натяжения нити, а также инерции груза. Равнодействующая этих сил является возвращающей силой.

Пример. Определите ускорение свободного падения на планете, где маятник длиной 6,25 м имеет период свободных колебаний 3,14 с.

Период колебаний математического маятника зависит от длины нити и ускорения свободного падения:

Возведя обе части равенства в квадрат, получаем:

Ответ: ускорение свободного падения равно 25 м/с 2 .

Ссылка на основную публикацию
Усики для автомобильной антенны
Убираясь в бардачке я наткнулся на ремкомплект антенных усиков — лежит наверно уже полгода, всё наклеить не могу, то забываю,...
Телефонный шлюз что это
VoIP-шлюз — это межсетевой шлюз, предназначенный для перевода трафика между сетями различных типов. VoIP-шлюзы можно разделить на многоканальные и одноканальные:...
Телефонная клавиатура на компьютере
Виртуальная клавиатура выручит Вас, когда выйдет из строя основное физическое устройство ввода, полностью или частично ( поломается несколько клавиш )....
Усиление сигнала интернета на даче своими руками
С наступление дачного сезона, я озадачился установкой хорошего скоростного интернет на даче, у нас голосовая связь работает без проблем, а...
Adblock detector