Энергия колебаний груза формула

Энергия колебаний груза формула

Энергия колебаний пружинного маятника

Рассмотрим превращения энергии, которые происходят при гармонических колебаниях в консервативной системе на примере пружинного маятника. Так как пружинный маятник мы считаем консервативной системой, то механическая энергия ее постоянна:

Проверим справедливость выражения (1),) непосредственным суммированием выражений для кинетической и потенциальной энергии рассматриваемого маятника.

Уравнение колебаний маятника запишем в виде:

где $x$ — смещение груза маятника по оси X. В таком случае изменение кинетической энергии груза, совершающего колебания на напружине равна:

Потенциальна энергия пружинного маятника равна: потенциальной энергии упругодеформированной пружины и потенциальной энергии груза в поле тяжести Земли:

Суммируем правые части выражений (3) и (4), получим:

Из формулы (5) мы видим, что неизменная суммарная энергия колебательной системы равна потенциальной ее энергии в точках максимального отклонения от положения равновесия (при $x=pm A$). Энергия $E$ равна кинетической энергии при прохождении грузом положения равновесия, скорость груза равна:

В ходе взаимных превращений потенциальная и кинетическая энергии гармонически колеблются с одинаковой амплитудой, равной $frac<2>$ находятся в противофазе друг с другом, частота их колебаний равна $2<omega >_0$.

И так, выражения (7) и (8) показывают, что кинетическая и потенциальная энергии колебательной системы совершают гармонические колебания вокруг их общего значения $frac<2>$ с удвоенной частотой 2$<omega >_0$, тогда как полная энергия системы остается постоянной. Она связана с амплитудой колебаний как:

Энергия колебательных систем с одной степенью свободы

Все, что сказано для пружинного маятника можно применить , для любых механических колебаний систем с одной степенью свободы. Мгновенное положение такой системы можно определить, используя один параметр, который называют обобщенной координатой ($q$), например, угла поворота или смещения по оси координат. При этом величина $dot=frac

$ называется обобщённой скоростью.

Потенциальная энергия в таких обозначениях примет вид:

где $alpha , eta $ — параметры системы. Полная энергия системы в нашем случае равна:

обобщенная координата совершает гармонические колебания с частотой:

Примеры задач на полную энергию колебаний

Задание. Какова полная энергия колебаний материальной точки массы $m=0,02$ кг, если она совершает колебания по закону: $x=0,1<cos (2pi t+frac<pi ><3>)(м) >?$ Потерь энергии в колебательной системе нет.

Решение. Полную энергию гармонических колебаний, которые описаны гармоническим законом $x(t)=0,1<cos (4pi t+frac<pi ><3>)(м) >$, зная, что это постоянная величина найдем как:

Из уравнения колебаний $x(t)$ мы видим, что:

Ответ. $E=1,58cdot <10>^<-2>$Дж.

Задание. Груз на упругой пружине (рис.1) совершает колебания по оси X. Амплитуда колебаний равна $A=6cdot <10>^<-2>м$. Какова полная энергия колебаний груза, если коэффициент упругости пружины равен $k=500$ $frac<Н><м>$? Считайте, что диссипации энергии в системе нет.

Решение. Колебания груза на упругой пружине можно считать гармоническими. По условию потерь энергии нет, следовательно, полная энергия нашего пружинного маятника сохраняется и является постоянной величиной, которую найдем как:

Работа большинства механизмов основана на простейших законах физики и математики. Довольно большое распространение получило понятие пружинного маятника. Подобный механизм получил весьма широкое распространение, так как пружина обеспечивает требуемую функциональность, может быть элементом автоматических устройств. Рассмотрим подробнее подобное устройство, принцип действия и многие другие моменты подробнее.

Определения пружинного маятника

Как ранее было отмечено, пружинный маятник получил весьма широкое распространение. Среди особенностей можно отметить следующее:

  1. Устройство представлено сочетанием груза и пружины, масса которой может не учитываться. В качестве груза может выступать самый различный объект. При этом на него может оказываться воздействие со стороны внешней силы. Распространенным примером можно назвать создание предохранительного клапана, который устанавливается в системе трубопровода. Крепление груза к пружине проводится самым различным образом. При этом используется исключительно классический винтовой вариант исполнения, который получил наиболее широкое распространение. Основные свойства во многом зависят от типа применяемого материала при изготовлении, диаметра витка, правильности центровки и многих других моментов. Крайние витки часто изготавливаются таким образом, чтобы могли воспринимать большую нагрузку при эксплуатации.
  2. До начала деформации полная механическая энергия отсутствует. При этом на тело не влияет сила упругости. Каждая пружина имеет исходное положение, которое она сохраняет на протяжении длительного периода. Однако, за счет определенной жесткости происходит фиксация тела в начальном положении. Имеет значение то, каким образом прикладывается усилие. Примером назовем то, что она должна быть направлена вдоль оси пружины, так как в противном случае есть вероятность появления деформации и многих других проблем. У каждой пружины есть свои определенный придел сжатия и растяжения. При этом максимальное сжатие представлено отсутствием зазора между отдельными витками, при растяжении есть момент, когда происходит невозвратная деформация изделия. При слишком сильном удлинении проволоки происходит изменение основных свойств, после чего изделие не возвращается в свое первоначальное положение.
  3. В рассматриваемом случае колебания совершаются за счет действия силы упругости. Она характеризуется довольно большим количество особенностей, которые должны учитываться. Воздействие упругости достигается за счет определенного расположения витков и типа применяемого материала при изготовлении. При этом сила упругости может действовать в обе стороны. Чаще всего происходит сжатие, но также может проводится растяжение – все зависит от особенностей конкретного случая.
  4. Скорость перемещения тела может варьировать в достаточно большом диапазоне, все зависит от того, какое оказывается воздействие. К примеру, пружинный маятник может перемещать подвешенный груз в горизонтальной и вертикальной плоскости. Действие направленного усилия во многом зависит от вертикальной или горизонтальной установки.

В целом можно сказать, что пружинный маятник определение довольно обобщенное. При этом скорость перемещения объекта зависит от различных параметров, к примеру, величины приложенного усилия и других моментов. Перед непосредственным проведением расчетов проводится создание схемы:

  1. Указывается опора, к которой крепится пружина. Зачастую для ее отображения рисуется линия с обратной штриховкой.
  2. Схематически отображается пружина. Она часта представлена волнистой линией. При схематическом отображении не имеет значение длина и диаметральный показатель.
  3. Также изображается тело. Оно не должно соответствовать размерам, однако имеет значение место непосредственного крепления.

Схема требуется для схематического отображения всех сил, которые оказывают влияние на устройство. Только в этом случае можно учесть все, что влияет на скорость перемещения, инерцию и многие другие моменты.

Пружинные маятники применяются не только при расчетах ил решении различных задач, но также и на практике. Однако, не все свойства подобного механизма применимы.

Примером можно назвать случай, когда колебательные движения не требуются:

  1. Создание запорных элементов.
  2. Пружинные механизмы, связанные с транспортировкой различных материалов и объектов.
Читайте также:  Как удалить свою страницу в контакте совсем

Проводимые расчеты пружинного маятника позволяют подобрать наиболее подходящий вес тела, а также тип пружины. Она характеризуется следующими особенностями:

  1. Диаметр витков. Он может быть самым различным. От показателя диаметра во многом зависит то, сколько требуется материала для производства. Диаметр витков также определяет то, какое усилие должно прикладываться для полного сжатия или частичного растяжения. Однако, увеличение размеров может создать существенные трудности с установкой изделия.
  2. Диаметр проволоки. Еще одним важным параметром можно назвать диаметральный размер проволоки. Он может варьировать в широком диапазоне, зависит прочность и степень упругости.
  3. Длина изделия. Этот показатель определяет то, какое усилие требуется для полного сжатия, а также какой упругостью может обладать изделие.
  4. Тип применяемого материала также определяет основные свойства. Чаще всего пружина изготавливается при применении специального сплава, который обладает соответствующие свойствами.

При математических расчетах многие моменты не учитываются. Усилие упругости и многие другие показатели выявляются путем расчета.

Виды пружинного маятника

Выделяют несколько различных видов пружинного маятника. Стоит учитывать, что классификация может проводится по типу устанавливаемой пружины. Среди особенностей отметим:

  1. Довольно большое распространение получили вертикальные колебания, так как в этом случае на груз не оказывается сила трения и другое воздействие. При вертикальном расположении груза существенно увеличивается степень воздействия силы тяжести. Распространен этот вариант исполнения при проведении самых различных расчетов. За счет силы тяжести есть вероятность того, что тело в исходной точке будет совершать большое количество инерционных движений. Этому также способствует упругость и инерция движения тела в конце хода.
  2. Также применяется горизонтальный пружинный маятник. В этом случае груз находится на опорной поверхности и на момент перемещения также возникает трение. При горизонтальном расположении сила тяжести работает несколько иначе. Горизонтальное расположение тела получило широкое распространение в различных задачах.

Рассчитывается движение пружинного маятника можно при использовании достаточно большого количества различных формул, который должны учитывать воздействие всех сил. В большинстве случаев устанавливается классическая пружина. Среди особенностей отметим следующее:

  1. Классическая витая пружина сжатия сегодня получила весьма широкое распространение. В этом случае между витками есть пространство, которое называется шагом. Пружина сжатия может и растягиваться, но зачастую она для этого не устанавливается. Отличительной особенностью можно назвать то, что последние витки выполнены в виде плоскости, за счет чего обеспечивается равномерное распределения усилия.
  2. Может устанавливаться вариант исполнения для растяжения. Он рассчитан на установку в случае, когда приложенное усилие становится причиной увеличения длины. Для крепления проводится размещение крючков.

Распространены оба варианта исполнения. При этом важно уделить внимание тому, чтобы сила прикладывалась параллельно оси. В противном случае есть вероятность смещения витков, что становится причиной возникновения серьезных проблем, к примеру, деформации.

Сила упругости в пружинном маятнике

Следует учитывать тот момент, что до деформирования пружины она находится в положении равновесия. Приложенная сила может приводить к ее растягиванию и сжиманию. Сила упругости в пружинном маятнике рассчитывается в соответствии с тем, как воздействует закон сохранения энергии. Согласно принятым нормам возникающая упругость пропорциональна смещению тела. В этом случае кинетическая энергия рассчитывается по формуле: F=-kx. В данном случае применяется коэффициент жесткости пружины.

Выделяют довольно большое количество особенностей воздействия силы упругости в пружинном маятнике. Среди особенностей отметим:

  1. Максимальная сила упругости возникает на момент, когда тело находится на максимальном расстоянии от положения равновесия. При этом в подобном положении отмечается максимальное значение ускорение тела. Не следует забывать о том, что может проводится растягивание и сжатие пружины, оба варианта несколько отличается. При сжатии минимальная длина изделия ограничивается. Как правило, она имеет длину, равную диаметру витка умноженное на количество. Слишком большое усилие может стать причиной смещения витков, а также деформации проволоки. При растяжении есть момент удлинения, после которого происходит деформация. Сильное удлинение приводит к тому, что возникающей силы упругости недостаточно для возврата изделия в первоначальное состояние.
  2. При сближении тела к месту равновесия происходит существенное уменьшение длины пружины. За счет этого наблюдается постоянное снижение показателя ускорения. Все это происходит за счет воздействия усилия упругости, которая связано с типом применяемого материала при изготовлении пружины и ее особенностями. Длина уменьшается за счет того, что расстояние между витками снижается. Особенностью можно назвать равномерное распределение витков, лишь только в случае дефектов есть вероятность нарушения подобного правила.
  3. На момент достижения точки равновесия сила упругости снижается до нуля. Однако, скорость не снижается, так как тело движется по инерции. Точка равновесия характеризуется тем, что длина изделия в ней сохраняется на протяжении длительного периода при условии отсутствия внешнего деформирующего усилия. Точка равновесия определяется в случае построения схемы.
  4. После достижения точки равновесия возникающая упругость начинает снижать скорость перемещения тела. Она действует в противоположном направлении. При этом возникает усилие, которое направлено в обратную сторону.
  5. Дойдя крайней точки тело начинает двигаться в противоположную сторону. В зависимости от жесткости установленной пружины подобное действие будет повторятся неоднократно. Протяженность этого цикла зависит от самых различных моментов. Примером можно назвать массу тела, а также максимальное приложенное усилие для возникновения деформации. В некоторых случаях колебательные движения практически незаметны, но они все же возникают.

Приведенная выше информация указывает на то, что колебательные движения совершаются за счет воздействия упругости. Деформация происходит за счет приложенного усилия, которое может варьировать в достаточно большом диапазоне, все зависит от конкретного случая.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Колебания пружинного маятника совершаются по гармоническому закону. Формула, по которой проводится расчет, выглядит следующим образом: F(t)=ma(t)=-mw2x(t).

В приведенной выше формуле указывается (w) радиальная частота гармонического колебания. Она свойственна силе, которая распространяется в границах применимости закона Гука. Уравнение движения может существенно отличаться, все зависит от конкретного случая.

Если рассматривать колебательное движение, то следует уделить внимание следующим моментам:

  1. Колебательные движения наблюдаются только в конце перемещения тела. Изначально оно прямолинейное до полного освобождения усилия. При этом сила упругости сохраняется на протяжении всего времени, пока тело находится в максимально отдаленном положении от нуля координат.
  2. После растяжения тело возвращается в исходное положение. Возникающая инерция становится причиной, по которой может оказываться воздействие на пружину. Инерция во многом зависит от массы тела, развитой скорости и многих других моментов.
Читайте также:  Как войти в root linux

В результате этого возникает колебание, которое может длиться в течение длительного периода. Приведенная выше формула позволяет провести расчет с учетом всех моментов.

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

При проектировании и вычислении основных показателей также уделяется довольно много внимания частоте и периоду колебания. Косинус – периодическая функция, в которой применяется значение, неизменяемое через определенный промежуток времени. Именно этот показатель называют период колебаний пружинного маятника. Для обозначения этого показателя применяется буква Т, также часто используется понятие, характеризующее значение, обратное периоду колебания (v). В большинстве случаев при расчетах применяется формула T=1/v.

Период колебаний вычисляется по несколько усложненной формуле. Она следующая: T=2п√m/k. Для определения частоты колебания используется формула: v=1/2п√k/m.

Рассматриваемая циклическая частота колебаний пружинного маятника зависит от следующих моментов:

  1. Масса груза, который прикреплен к пружине. Этот показатель считается наиболее важным, так как оказывает влияние на самые различные параметры. От массы зависит сила инерции, скорость и многие другие показатели. Кроме этого, масса груза – величина, с измерением которой не возникает проблем из-за наличия специального измерительного оборудования.
  2. Коэффициент упругости. Для каждой пружины этот показатель существенно отличается. Коэффициент упругости указывается для определения основных параметров пружины. Зависит этот параметр от количества витков, длины изделия, расстояние между витками, их диаметра и многого другого. Определяется он самым различным образом, зачастую при применении специального оборудования.

Не стоит забывать о том, что при сильном растяжении пружины закон Гука прекращает действовать. При этом период пружинного колебания начинает зависеть от амплитуды.

Для измерения периода применяется всемирная единица времени, в большинстве случаев секунды. В большинстве случаев амплитуда колебаний вычисляется при решении самых различных задач. Для упрощения процесса проводится построение упрощенной схемы, на которой отображаются основные силы.

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Определившись с особенностями проходимых процессов и зная уравнение колебаний пружинного маятника, а также начальные значения можно провести расчет амплитуды и начальной фазы пружинного маятника. Для определения начальной фазы применяется значение f, амплитуда обозначается символом A.

Для определения амплитуды может использоваться формула: А=√x 2 +v 2 /w 2 . Начальная фаза высчитывается по формуле: tgf=-v/xw.

Применяя эти формулы можно провести определение основных параметров, которые применяются при расчетах.

Энергия колебаний пружинного маятника

Рассматривая колебание груза на пружине нужно учитывать тот момент, что при движение маятника может описываться двумя точками, то есть оно носит прямолинейный характер. Этот момент определяет выполнение условий, касающихся рассматриваемой силы. Можно сказать, что полная энергия потенциальная.

Провести расчет энергии колебаний пружинного маятника можно при учете всех особенностей. Основными моментами назовем следующее:

  1. Колебания могут проходить в горизонтальной и вертикальной плоскости.
  2. Ноль потенциальной энергии выбирается в качестве положения равновесия. Именно в этом месте устанавливается начало координат. Как правило, в этом положении пружина сохраняет свою форму при условии отсутствия деформирующей силы.
  3. В рассматриваемом случае рассчитываемая энергия пружинного маятника не учитывает силу трения. При вертикальном расположении груза сила трения несущественна, при горизонтальном тело находится на поверхности и при движении может возникнуть трение.
  4. Для расчета энергии колебания применяется следующая формула: E=-dF/dx.

Приведенная выше информация указывают на то, что закон сохранения энергии выглядит следующим образом: mx 2 /2+mw 2 x 2 /2=const. Применяемая формула говорит о следующем:

  1. Максимальная кинетическая энергия установленного маятника прямо пропорциональна максимальному значению потенциальной.
  2. На момент осциллятора среднее значение обоих сил равны.

Провести определение энергии колебания пружинного маятника можно при решении самых различных задач.

Свободные колебания пружинного маятника

Рассматривая то, чем вызваны свободные колебания пружинного маятника следует уделить внимание действию внутренних сил. Они начинают формироваться практически сразу после того, как телу было передано движение. Особенности гармонических колебаний заключаются в нижеприведенных моментах:

  1. Могут также возникать и другие типы сил воздействующего характера, который удовлетворяют все нормы закона, называются квазиупругими.
  2. Основными причинами действия закона могут быть внутренние силы, которые формируются непосредственно на момент изменения положения тела в пространстве. При этом груз обладает определенной массой, усилие создается за счет фиксации одного конца за неподвижный объект с достаточной прочностью, второго за сам груз. При условии отсутствия трения тело может совершать колебательные движения. В этом случае закрепленный груз называется линейным.

Не стоит забывать о том, что существует просто огромное количество различных видов систем, в которых осуществляется движение колебательного характера. В них также возникает упругая деформация, которая становится причиной применения для выполнения какой-либо работы.

Сохранение энергии при колебаниях математического маятника

При гармонических колебаниях полная механическая энергия системы сохраняется (остается постоянной).

Полная механическая энергия математического маятника складывается из кинетической энергии и потенциальной энергии:

где W k — кинетическая энергия, W k = = mv 2 /2; W p — потенциальная энергия, W p = mgh ; m — масса груза; g — модуль ускорения свободного падения; v — модуль скорости груза; h — высота подъема груза над положением равновесия (рис. 10.15).

В Международной системе единиц энергия механической колебательной системы измеряется в джоулях (1 Дж).

При гармонических колебаниях математический маятник проходит ряд последовательных состояний, поэтому целесообразно рассмотреть энергию математического маятника в трех положениях (см. рис. 10.15):

1) в положении равновесия ( 1 ) скорость тела имеет максимальное значение v max , поэтому кинетическая энергия также максимальна:

W k max = m v max 2 2 ;

потенциальная энергия равна нулю; полная энергия совпадает с максимальной кинетической энергией:

2) в крайнем положении ( 2 ) тело поднято над исходным уровнем на максимальную высоту h max , поэтому потенциальная энергия также максимальна:

W p max = m g h max ;

кинетическая энергия равна нулю; полная энергия совпадает с максимальной потенциальной энергией:

3) в промежуточном положении ( 3 ) тело обладает мгновенной скоростью v и поднято над исходным уровнем на некоторую высоту h , поэтому полная энергия представляет собой сумму

E = m v 2 2 + m g h ,

где mv 2 /2 — кинетическая энергия; mgh — потенциальная энергия; m — масса груза; g — модуль ускорения свободного падения; v — модуль скорости груза; h — высота подъема груза над положением равновесия.

При гармонических колебаниях математического маятника полная механическая энергия сохраняется:

Значения полной энергии математического маятника в трех его положениях отражены в табл. 10.1.

Положение W p W k E = W p + W k
1 Равновесие m v max 2 / 2 m v max 2 / 2
2 Крайнее mgh max mgh max
3 Промежуточное (мгновенное) mgh mv 2 /2 mv 2 /2 + mgh
Читайте также:  Просмотр камер видеонаблюдения android

Значения полной механической энергии, представленные в последнем столбце табл. 10.1, имеют равные значения для любых положений маятника, что является математическим выражением закона сохранения полной механической энергии :

m v max 2 2 = m g h max ;

m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h ;

m g h max = m v 2 2 + m g h ,

где m — масса груза; g — модуль ускорения свободного падения; v — модуль мгновенной скорости груза в положении 3 ; h — высота подъема груза над положением равновесия в положении 3 ; v max — модуль максимальной скорости груза в положении 1 ; h max — максимальная высота подъема груза над положением равновесия в положении 2 .

Угол отклонения нити математического маятника от вертикали (рис. 10.15) определяется выражением

cos α = l − h l = 1 − h l ,

где l — длина нити; h — высота подъема груза над положением равновесия.

Максимальный угол отклонения α max определяется максимальной высотой подъема груза над положением равновесия h max :

cos α max = 1 − h max l .

Пример 11. Период малых колебаний математического маятника равен 0,9 с. На какой максимальный угол от вертикали будет отклоняться нить, если, проходя положение равновесия, шарик движется со скоростью, равной 1,5 м/с? Трение в системе отсутствует.

Решение . На рисунке показаны два положения математического маятника:

  • положение равновесия 1 (характеризуется максимальной скоростью шарика v max );
  • крайнее положение 2 (характеризуется максимальной высотой подъема шарика h max над положением равновесия).

Искомый угол определяется равенством

cos α max = l − h max l = 1 − h max l ,

где l — длина нити маятника.

Максимальную высоту подъема шарика маятника над положением равновесия найдем из закона сохранения полной механической энергии.

Полная энергия маятника в положении равновесия и в крайнем положении определяется следующими формулами:

E 1 = m v max 2 2 ,

где m — масса шарика маятника; v max — модуль скорости шарика в положении равновесия (максимальная скорость), v max = 1,5 м/с;

где g — модуль ускорения свободного падения; h max — максимальная высота подъема шарика над положением равновесия.

Закон сохранения полной механической энергии:

m v max 2 2 = m g h max .

Выразим отсюда максимальную высоту подъема шарика над положением равновесия:

h max = v max 2 2 g .

Длину нити определим из формулы для периода колебаний математического маятника

Подставим h max и l в выражение для косинуса искомого угла:

cos α max = 1 − 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

и произведем вычисление с учетом приблизительного равенства π 2 = 10:

cos α max = 1 − 2 ⋅ 10 ⋅ ( 1,5 ) 2 10 2 ⋅ ( 0,9 ) 2 = 0,5 .

Отсюда следует, что максимальный угол отклонения составляет 60°.

Строго говоря, при угле 60° колебания шарика не являются малыми и пользоваться стандартной формулой для периода колебаний математического маятника неправомерно.

Сохранение энергии при колебаниях пружинного маятника

Полная механическая энергия пружинного маятника складывается из кинетической энергии и потенциальной энергии:

где W k — кинетическая энергия, W k = mv 2 /2; W p — потенциальная энергия, W p = k (Δ x ) 2 /2; m — масса груза; v — модуль скорости груза; k — коэффициент жесткости (упругости) пружины; Δ x — деформация (растяжение или сжатие) пружины (рис. 10.16).

В Международной системе единиц энергия механической колебательной системы измеряется в джоулях (1 Дж).

При гармонических колебаниях пружинный маятник проходит ряд последовательных состояний, поэтому целесообразно рассмотреть энергию пружинного маятника в трех положениях (см. рис. 10.16):

1) в положении равновесия ( 1 ) скорость тела имеет максимальное значение v max , поэтому кинетическая энергия также максимальна:

W k max = m v max 2 2 ;

потенциальная энергия пружины равна нулю, так как пружина не деформирована; полная энергия совпадает с максимальной кинетической энергией:

2) в крайнем положении ( 2 ) пружина имеет максимальную деформацию (Δ x max ), поэтому потенциальная энергия также имеет максимальное значение:

W p max = k ( Δ x max ) 2 2 ;

кинетическая энергия тела равна нулю; полная энергия совпадает с максимальной потенциальной энергией:

3) в промежуточном положении ( 3 ) тело обладает мгновенной скоростью v , пружина имеет в этот момент некоторую деформацию (Δ x ), поэтому полная энергия представляет собой сумму

E = m v 2 2 + k ( Δ x ) 2 2 ,

где mv 2 /2 — кинетическая энергия; k (Δ x ) 2 /2 — потенциальная энергия; m — масса груза; v — модуль скорости груза; k — коэффициент жесткости (упругости) пружины; Δ x — деформация (растяжение или сжатие) пружины.

При смещении груза пружинного маятника от положения равновесия на него действует возвращающая сила , проекция которой на направление движения маятника определяется формулой

где x — смещение груза пружинного маятника от положения равновесия, x = ∆ x , ∆ x — деформация пружины; k — коэффициент жесткости (упругости) пружины маятника.

При гармонических колебаниях пружинного маятника полная механическая энергия сохраняется:

Значения полной энергии пружинного маятника в трех его положениях отражены в табл. 10.2.

Положение W p W k E = W p + W k
1 Равновесие m v max 2 / 2 m v max 2 / 2
2 Крайнее k (Δ x max ) 2 /2 k (Δ x max ) 2 /2
3 Промежуточное (мгновенное) k (Δ x ) 2 /2 mv 2 /2 mv 2 /2 + k (Δ x ) 2 /2

Значения полной механической энергии, представленные в последнем столбце таблицы, имеют равные значения для любых положений маятника, что является математическим выражением закона сохранения полной механической энергии :

m v max 2 2 = k ( Δ x max ) 2 2 ;

m v max 2 2 = m v 2 2 + k ( Δ x ) 2 2 ;

k ( Δ x max ) 2 2 = m v 2 2 + k ( Δ x ) 2 2 ,

где m — масса груза; v — модуль мгновенной скорости груза в положении 3 ; Δ x — деформация (растяжение или сжатие) пружины в положении 3 ; v max — модуль максимальной скорости груза в положении 1 ; Δ x max — максимальная деформация (растяжение или сжатие) пружины в положении 2 .

Пример 12. Пружинный маятник совершает гармонические колебания. Во сколько раз его кинетическая энергия больше потенциальной в тот момент, когда смещение тела из положения равновесия составляет четверть амплитуды?

Решение . Сравним два положения пружинного маятника:

  • крайнее положение 1 (характеризуется максимальным смещением груза маятника от положения равновесия x max );
  • промежуточное положение 2 (характеризуется промежуточными значениями смещения от положения равновесия x и скорости v → ).

Полная энергия маятника в крайнем и промежуточном положениях определяется следующими формулами:

E 1 = k ( Δ x max ) 2 2 ,

где k — коэффициент жесткости (упругости) пружины; ∆ x max — амплитуда колебаний (максимальное смещение от положения равновесия), ∆ x max = A ;

  • в промежуточном положении —

E 2 = k ( Δ x ) 2 2 + m v 2 2 ,

где m — масса груза маятника; ∆ x — смещение груза от положения равновесия, ∆ x = A /4.

Закон сохранения полной механической энергии для пружинного маятника имеет следующий вид:

k ( Δ x max ) 2 2 = k ( Δ x ) 2 2 + m v 2 2 .

Разделим обе части записанного равенства на k (∆ x ) 2 /2:

( Δ x max Δ x ) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p ,

где W k — кинетическая энергия маятника в промежуточном положении, W k = mv 2 /2; W p — потенциальная энергия маятника в промежуточном положении, W p = k (∆ x ) 2 /2.

Выразим из уравнения искомое отношение энергий:

W k W p = ( Δ x max Δ x ) 2 − 1

и рассчитаем его значение:

W k W p = ( A A / 4 ) 2 − 1 = 16 − 1 = 15 .

В указанный момент времени отношение кинетической и потенциальной энергий маятника равно 15.

Ссылка на основную публикацию
Что такое селфи википедия
Се́лфи (англ. selfie , от «self» — сам, себя; русские эквиваленты — «себя́шка», «самостре́л» — считаются просторечными [1] ) —...
Что делать если завис телефон андроид
Что делать, если завис Андроид и не реагирует не на что? В этой статье мы посмотрим четыре простых способа как...
Что дают за рейтинговые бои
В кои-то веки разработчики решили прислушаться к мнению игроков и ввести в Варфейс рейтинговые матчи. Теперь каждый игрок, достигший 26...
Что такое серийный номер продукта
Все варианты «товарных» EPC, без исключения, имеют в себе поле для хранения серийного номера того конкретного объекта (товара или упаковки),...
Adblock detector