Как определить периодична ли функция

Как определить периодична ли функция

С периодическими функциями мы встречаемся в школьном курсе алгебры. Это функции, все значения которых повторяются через определенный период. Как будто мы копируем часть графика — и повторяем этот паттерн на всей области определения функции. Например, — периодические функции.

Дадим определение периодической функции:

Функция называется периодической, если существует такое число , не равное нулю, что для любого из ее области определения

Другими словами, это функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям её аргумента некоторого фиксированного ненулевого числа . Число называется периодом функции. Как правило, говоря о периоде, мы имеем в виду наименьший положительный период функции.

Например, — периодические функции.

Для функций и период ,

Для функций и период

Но не только тригонометрические функции являются периодическими. Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задачи:

1. Периодическая функция определена для всех действительных чисел. Ее период равен двум и Найдите значение выражения

График функции может выглядеть, например, вот так:

Отметим точку М (1; 5), принадлежащую графику функции . Поскольку период функции равен 2, значения функции в точках будут также равны пяти. Здесь k — целое число.

Как ведет себя функция в других точках — мы не знаем. Но знаем, что ее график состоит из повторяющихся элементов длиной 2, что и нарисовано.

Значения функции в точках -3 и 7 равны пяти. Мы получим:

2. График четной периодической функции совпадает с графиком функции на отрезке от 0 до 1; период функции равен 2. Постройте график функции и найдите f(4 ).

Построим график функции при

Поскольку функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Построим часть графика при симметричную части графика от 0 до 1.

Период функции равен 2. Повторим периодически участок длины 2, который уже построен.

3. Найдите наименьший положительный период функции

Наименьший положительный период функции равен

График функции получается из графика функции сжатием в 3 раза по оси X (смотри тему «Преобразование графиков функций).

Значит, у функции частота в 3 раза больше, чем у функции , а наименьший положительный период в 3 раза меньше и равен . Значит, на отрезке укладывается ровно 3 полных волны функции

Рассуждая аналогично, получим, что для функции наименьший положительный период равен На отрезке укладывается ровно 5 полных волн функции

Числа 3 и 5 — взаимно простые. Поэтому наименьший положительный период функции равен .

4. Период функции равен 12, а период функции равен 8. Найдите наименьший положительный период функции

По условию, период функции равен 12. Это значит, что все значения повторяются через 12, через . Если мы выберем любую точку на графике функции то через значение функции будет такое же, как и в точке

Аналогично, все значения функции повторяются через . В этих точках значения будут такие же, как и в точке

На каком же расстоянии от точки расположена точка, в которой значение функции такое же, что и в точке ? Очевидно, на расстоянии Это значит, что число делится и на 12, и на 8, то есть является их наименьшим общим кратным. Значит, .

Читайте также:  Cd dvd rom drive bbs priorities

Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых.

В обычных школьных задачах доказать периодичность той или иной функции обычно нетрудно: так, чтобы убедиться, что функция $y=sinfrac34 x+sinfrac27 x$ является периодической, достаточно просто отметить, что произведение $T=4 imes7 imes 2pi$ является ее периодом: если мы прибавим к х число Т, то это произведение «съест» оба знаменателя и под знаком синуса окажутся лишними только целые кратные числа $2pi$, которые «съест» сам синус.

Но доказательство непериодичности той или иной функции непосредственно по определению периодической функции может оказаться совсем не простым. Так, для доказательства непериодичности рассмотренной выше функции $y=sin x^2$ можно выписать равенство $sin(x+T)^2=sin x^2$, но не решать по привычке это тригонометрическое уравнение, а догадаться подставить в него х=0, после чего дальнейшее получится почти автоматически: $sin T^2=0$, $T^2=kpi$, где k — некоторое целое число, большее 0, т.е. $T=sqrt $, а если теперь догадаться подставить в него $x=sqrt <pi>$, то получится, что $sin(sqrt<pi>+sqrt)=0$, откуда $sqrt<pi>+sqrt=npi$, $1+sqrt=nsqrt<pi>$, $1+k+2sqrt=n^2pi$, $2sqrt=n^2pi-1-k=n^2pi=m$, $4k=n^4<pi>^2+2mn^2x+m^2$, и таким образом, число р является корнем уравнения $n^4x^2+2mn^2pi+m^2-4k=0$, т.е. является алгебраическим, что неверно: $pi$ является, как мы знаем, трансцендентным, т.е. не является корнем никакого алгебраич­ской уравнения с целыми коэффициентами. Впрочем, в будущем мы получим гораздо более простое доказательство этого утверждения — но уже с помощью средств математического анализа.

При доказательстве непериодичности функций часто помогает элементарный логический трюк: если все периодические функции обладают некоторым свойством, а данная функция им не обладает, то она, естественно, не является периодической. Так, периодическая функция всякое свое значение принимает бесконечно много раз, и поэтому, например, функция $y=frac<3x^2-5x+7><4x^3-x+2>$ не является периодической, так как значение 7 она принимает только в двух точках. Часто для доказательства непериодичности удобно использовать особенности ее области определения, а для нахождения нужного свойства периодических функций иногда приходится проявлять определенную фантазию.

Заметим еще, что очень часто на вопрос, что же такое непериодическая функция, приходится слышать ответ в стиле, о котором мы говорили в связи с четными и нечетными функциями, — это когда $f(x+T)
eq f(x)$, что, конечно же, недопустимо.

А правильный ответ зависит от конкретного определения периодической функции, и, исходя из данного выше определения, можно, конечно, сказать, что функция является непериодической, если она не имеет ни одного периода, но это будет «плохое» определение, которое не дает направления доказательства непериодичности. А если его расшифровать далее, описав, что значит предложение «функция f не имеет ни одного периода», или, что то же самое, «никакое число $T
eq 0$ не является периодом функции f», то получим, что функция f не является периодической в том и только в том случае, когда для всякого $T
eq 0$ существует число $xin D(f)$ такое, что либо хотя бы одно из чисел $x+T$ и $x-T$ не принадлежит D(f), либо $f(x+T)
eq f(x)$.

Читайте также:  Возврат по договору комиссии в 1с

Можно сказать и иначе: «Существует число $xin D(f)$ такое, что равенство $f(x+T) = f(x)$ не выполняется» — это равенство может не выполняться по двум причинам: или оно не имеет смысла, т.е. одна из его частей не оп­ределена, или — в противном случае, быть неверным. Для интереса добавим, что языковой эффект, о котором мы говорили выше, здесь проявляется тоже: для равенства «не быть верным» и «быть неверным» — не одно и то же — равенство еще может не иметь смысла.

Детальное выяснение причин и последствий этого языкового эффекта в действительности является предметом не математики, а теории языка, лингвистики, точнее, ее особого раздела: семантики — науки о смысле, где, впрочем, эти вопросы являются весьма сложными и не имеют однозначного решения. А математика, в том числе и школьная, вынуждена мириться с этими трудностями и преодолевать языковые «неурядицы» — пока и поскольку она использует, наряду с символическим, и естественный язык.

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы рассмотрим периодичность функций у = sin t и у = cos t. В начале урока мы обсудим, откуда возникает периодичность у тригонометрических функций, вспомним, что такое координатная прямая и числовая окружность и как отображаются тригонометрические функции на числовой окружности. Далее дадим определение периодической функции и периода и найдем наименьший положительный период для функций синуса и косинуса. Также рассмотрим, как период влияет на исследование функции, рассмотрим графики функции синуса и косинуса на наименьшем положительном периоде и решим ряд задач с использованием периодичности этих функций.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Тригонометрия»

Тема урока, введение

Периодичность функций, наличие периода – специфика тригонометрических функций. Какова причина его появления?

Причины возникновения периода

Во-первых, это определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Во-вторых, – специфика отображения аргумента на числовой оси или числовой окружности.

Рассмотрим подробнее. Пусть аргумент откладывается на координатной прямой. Вспомним, что необходимо сделать, чтобы из обычной прямой получить координатную.

1. Отметить начальную точку.

2. Задать положительное направление.

3. Определить масштаб.

На координатной прямой существует взаимно-однозначное соответствие между точкой и действительным числом. Каждому действительному числу соответствует своя точка на прямой и наоборот, каждой точке прямой соответствует одно действительное число (рис. 1).

На числовой окружности числу соответствует единственная точка M. Но длина окружности радиуса 1 равна Число тоже попадет в точку M. Точка M соответствует бесчисленному множеству чисел вида .

У точки M единственная пара координат, т.е. единственные значения синуса и косинуса (рис. 2).

Еще раз посмотрим, какое существует взаимоотношение между числовой прямой и числовой окружностью. Представим себе, что бесконечная тонкая нить наматывается на тонкий обод радиуса 1. Тогда все точки попадут в одну точку окружности. В этом и причина периодичности.

Определение периодичной функции, наименьший положительный период функций y=sint, y=cost

Дадим строгое определение периодичности.

Определение: Функцию называют периодической, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого t выполняется равенство

Читайте также:  Фитнес браслет для силовых тренировок

Число T называется периодом функции

Функции имеют много различных периодов. Докажем, что наименьший положительный период.

Число является периодом функций

Осталось доказать, что меньшего положительного периода не существует.

Пусть T – произвольный период. Тогда для всех в частности для

(рис. 3).

Наименьшим положительным периодом вида является .

Особенности исследования периодических функций y=sint, y=cost

Заменим аргумент t на x и обсудим исследование периодических функций и

Так как наименьший положительный период, то необходимо сделать следующее:

1) Построить график и исследовать функцию на любом отрезке длиной

2) Продолжить график и сформулировать свойства на всей области определения,

При этом необходимо учесть нечетность функции и четность функции

В соответствии с изложенной схемой рассмотрим функции и

Функция – периодическая, период В силу нечетности достаточно исследовать её на участке и симметрично отобразить график относительно начала координат (рис. 4).

Рассмотрим функцию Учтём, что она четная, график симметричен относительно оси y.

Мы можем построить график на участке и симметрично отобразить относительно оси y (рис. 5).

Наличие периода позволяет решать многочисленные задачи.

Решение задач

Задача 1. Вычислить

a)

b)

a)

b)

Ответ:

Задача 2. Доказать тождество

верно для любого x.

Задача 3. Решить уравнение

На рисунке видно, что значению косинуса соответствуют углы

Ответ:

Вывод, заключение

Мы выяснили причины периодичности тригонометрических функций, установили, что синус и косинус имеют много периодов – все числа вида наименьший положительный период для функций

Наличие периода мы использовали для исследования функций и решения типовых задач.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

Дополнительные веб-ресурсы

2. Интернет-портал Problems.ru (Источник).

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Ссылка на основную публикацию
Как настроить универсальный пульт на телевизор ролсен
Последние десятилетия телевизоры выпускают с пультом дистанционного управления. Чем современнее модель телевизионного ящика, тем универсальнее пульт дистанционного управления в комплекте....
Как найти музыку в фейсбук
Для многих людей день не проходит без прослушивания любимой музыки. Существую различные ресурсы, где можно слушать аудиозаписи, в числе таковых...
Как найти на клавиатуре процент
Набрать текст сегодня может каждый. Даже самые стойкие противники новых технологий знают, как печатать символы на клавиатуре ( но не...
Как настроить фильтры в майл ру
Здравствуйте. Сегодня мы с вами поговорим о том, что такое фильтр электронной почты и для чего он нужен? Вы, наверное,...
Adblock detector