Как определить угол между прямыми в пространстве

Как определить угол между прямыми в пространстве

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Как определяется угол между скрещивающимися прямыми?

Ты можешь спросить, а чего тут определять? Угол, он и в Африке (то есть в пространстве) – угол!

И действительно, если прямые лежат в одной плоскости, то угол между ними ищется так же, как и на плоскости:

Наименьший из двух углов, образованных при пересечении.

Но что же делать, если прямые совсем не пересекаются?

Вот, например: прямые и скрещиваются. Какой угол между ними?

Чтобы это определить, делаем так: через произвольную точку одной прямой (например ), нужно провести прямую .

И тогда угол между и будет равен (по определению!) углу между и .

Да, но как это применить в задачах? Давай посмотрим.

В кубе найти угол между и .

Решаем:

Прямые и не пересекаются, но нужно как-то найти угол между ними. Пользуемся правилом: через точку проведем прямую . Она будет параллельна .

Значит, угол между и равен углу между и . Осталось его найти.

Смотри: , и — диагонали граней куба, поэтому , то есть — равносторонний.

УГОЛ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Если прямые лежат в разных плоскостях (т.е. не пересекаются), нужно через произвольную точку на одной прямой (например, прямая ) провести прямую, параллельную другой прямой (например, прямую , где .

И тогда угол между и будет равен (по определению!) углу между и .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене "чашка кофе в месяц",

А также получить бессрочный доступ к учебнику "YouClever", Программе подготовки (решебнику) "100gia", неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

Угол между пересекающимися прямыми

Углом между пересекающимися прямыми , называется наименьший из углов, образованных при пересечении этих прямых (если при пересечении образовались четыре равных угла, то прямые перпендикулярны).

Угол между скрещивающимися прямыми

Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым.

Читайте также:  Трансформатор с двумя выводами

(Одну из прямых можно вполне и не переносить параллельно самой себе, а ограничиться только параллельным переносом одной из прямых до пересечения со второй).

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на плоскость

Угол между плоскостями

Угол между плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения.

Этот угол не зависит от выбора такой плоскости.

Угол между двумя параллельными плоскостями принимается равным нулю.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

(lacktriangleright) Угол между прямыми – это такой угол (alpha) , что (0leqslant alphaleqslant 90^circ) .

(lacktriangleright) В пространстве существует 4 типа взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются, параллельны, скрещиваются.

(lacktriangleright) Скрещивающиеся прямые – это прямые, через которые нельзя провести одну плоскость.

Признак скрещивающихся прямых: если первая прямая пересекает плоскость, в которой лежит вторая прямая, в точке, не лежащей на второй прямой, то такие прямые скрещиваются.

(lacktriangleright) Порядок нахождения угла между скрещивающимися прямыми:

Шаг 1: через одну из двух прямых (a) провести плоскость, параллельную второй прямой (b) (напомним признак: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой из этой плоскости);

Шаг 2: в этой плоскости найти прямую (c) , параллельную прямой (b) ;

Шаг 3: тогда угол между прямыми (a) и (b) будет равен углу между прямыми (a) и (c) .

(ABCDA_1B_1C_1D_1) – куб. Найдите угол между прямыми, содержащими отрезки (AC) и (B_1D_1) . Ответ дайте в градусах.

Прямая (BD) параллельна прямой (B_1D_1) , тогда угол между (AC) и (B_1D_1) равен углу между (AC) и (BD) , но (AC) и (BD) – диагонали квадрата, тогда они пересекаются под прямым углом, следовательно ответ (90^<circ>) .

Дана правильная треугольная пирамида (SABC) с вершиной (S) . Найдите угол между высотой пирамиды и ребром (SB) , если высота пирамиды равна (2sqrt3) , а сторона основания пирамиды равна (6) . Ответ дайте в градусах.

Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник, следовательно, высота (SO) падает в точку пересечения медиан основания.

Пусть (BB_1) – медиана, а значит, и высота. По теореме Пифагора [BB_1=sqrt=3sqrt3 quadRightarrowquad BO=dfrac23BB_1=2sqrt3,] так как медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1) , считая от вершины.
Следовательно, прямоугольный ( riangle SOB) является равнобедренным ( (SO=BO=2sqrt3) ), значит, острые углы равны по (45^circ) .

Читайте также:  Почему постоянно отключается компьютер

(ABCDA_1B_1C_1D_1) – куб. Точка (K) лежит на ребре (AA_1) . Найдите угол между прямыми, содержащими отрезки (D_1K) и (AB) . Ответ дайте в градусах.

Так как (ABCDA_1B_1C_1D_1) – куб, то (AB) перпендикулярен плоскости ((ADD_1)) , тогда (AB) перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости ((ADD_1)) , следовательно, угол между прямыми, содержащими отрезки (D_1K) и (AB) равен (90^<circ>) .

Дан правильный тетраэдр (SABC) . Найдите квадрат тангенса угла между высотой грани (SAC) , опущенной из вершины (S) , и высотой грани (ABC) , опущенной из вершины (B) .

Пусть (SB_1) – высота грани (SAC) . Так как тетраэдр правильный, то все его грани – равные правильные треугольники, то есть (SB_1) также является и медианой, значит, (AB_1=B_1C) . Также у правильного тетраэдра высота из каждой вершины падает в точку пересечения медиан (биссектрис, высот) противоположной грани. Следовательно, если (SO) – высота, то (O) – точка пересечения медиан треугольника (ABC) , а значит и высот, так как ( riangle ABC) правильный. Следовательно, (BB_1) — медиана и высота.

Таким образом, необходимо найти (mathrm^2angle (SB_1, BB_1)) .
Пусть (a) – ребро тетраэдра. Тогда (BC=a, B_1C=0,5a) , следовательно, по теореме Пифагора [BB_1=sqrt=dfrac<sqrt3>2a] Так как (O) – точка пересечения медиан, а медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1) , считая от вершины, то (OB_1=frac13BB_1=frac<sqrt3>6a) .

Так как ( riangle ABC= riangle SAC) , то (SB_1=BB_1) . Следовательно, из прямоугольного ( riangle SB_1O) : [cos alpha=dfrac=dfrac13 quadRightarrowquad sin alpha =sqrt<1-cos^2alpha>=dfrac<2sqrt2>3 quadRightarrowquad mathrm^2alpha=(2sqrt2)^2=8.]

Дан куб (ABCDA_1B_1C_1D_1) . Найдите угол между прямыми (AD_1) и (BD) . Ответ дайте в градусах.

Заметим, что (BC_1 || AD_1) , тогда рассмотрим треугольник ( riangle BDC_1) , в котором необходимо определить (angle DBC_1) . Он состоит из диагоналей соответствующих квадратов. Так как квадраты между собой равны, то равны и диагонали (Rightarrow) ( riangle BDC_1) – равносторонний треугольник (Rightarrow) (angle DBC_1 = 60^circ) .

Дан куб (ABCDA_1B_1C_1D_1) . Точка (K) – середина стороны (B_1C_1) , а точка (L) – середина стороны (C_1D_1) . Найдите угол между прямыми (AB_1) и (KL) . Ответ дайте в градусах.

Проведем диагональ (B_1D_1) в квадрате (A_1B_1C_1D_1) . Тогда (KL) – средняя линия в ( riangle B_1C_1D_1) (Rightarrow) (KL || B_1D_1) (Rightarrow) (angle AB_1D_1) – искомый угол. Рассмотрим ( riangle AB_1D_1) . Он состоит из диагоналей соответствующих квадратов (Rightarrow) треугольник является равносторонним (Rightarrow) (angle AB_1D_1 = 60^circ) .

Читайте также:  Как раздать интернет с телефона на нетбук

Дана правильная треугольная пирамида (SABC) с вершиной (S) . Найдите косинус угла между высотой основания (AA_1) и ребром (SC) , если сторона основания равна (sqrt3) , а боковое ребро равно (2) .

Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник, следовательно, (AA_1) также является и медианой.

Заметим, что прямые (AA_1) и (SC) скрещиваются. Проведем (A_1Mparallel SC) , следовательно, (angle (AA_1, SC)=angle (AA_1, A_1M)) .
Так как (A_1Mparallel SC) и (A_1) – середина (BC) , то (M) – середина (SB) . Следовательно, (A_1M) – средняя линия и [A_1M=frac12SC=1.] По теореме Пифагора из ( riangle ABA_1) : [AA_1=sqrt=dfrac32.] Медиану (AM) из ( riangle SAB) можно найти по формуле медианы: [AM^2=dfrac<2AS^2+2AB^2-SB^2>4=dfrac52.] Следовательно, по теореме косинусов из ( riangle AA_1M) : [cos alpha=dfrac<2AA_1cdot A_1M>=dfrac14=0,25.]

Каждому школьнику, который готовится к ЕГЭ по математике, будет полезно повторить тему «Нахождение угла между прямыми». Как показывает статистика, при сдаче аттестационного испытания задачи по данному разделу стереометрии вызывают трудности у большого количества учащихся. При этом задания, требующие найти угол между прямыми, встречаются в ЕГЭ как базового, так и профильного уровня. Это значит, что уметь их решать должны все.

Основные моменты

В пространстве существует 4 типа взаимного расположения прямых. Они могут совпадать, пересекаться, быть параллельными или скрещивающимися. Угол между ними может быть острым или прямым.

Для нахождения угла между прямыми в ЕГЭ или, например, в решении задач по теореме о трех перпендикулярах, школьники Москвы и других городов могут использовать несколько способов решения задач по данному разделу стереометрии. Выполнить задание можно путем классических построений. Для этого стоит выучить основные аксиомы и теоремы стереометрии. Школьнику нужно уметь логически выстраивать рассуждение и создавать чертежи, для того чтобы привести задание к планиметрической задаче.

Также можно использовать векторно-координатный метод, применяя простые формулы, правила и алгоритмы. Главное в этом случае — правильно выполнить все вычисления. Отточить свои навыки решения задач по стереометрии и другим разделам школьного курса вам поможет образовательный проект «Школково».

Ссылка на основную публикацию
Как настроить универсальный пульт на телевизор ролсен
Последние десятилетия телевизоры выпускают с пультом дистанционного управления. Чем современнее модель телевизионного ящика, тем универсальнее пульт дистанционного управления в комплекте....
Как найти музыку в фейсбук
Для многих людей день не проходит без прослушивания любимой музыки. Существую различные ресурсы, где можно слушать аудиозаписи, в числе таковых...
Как найти на клавиатуре процент
Набрать текст сегодня может каждый. Даже самые стойкие противники новых технологий знают, как печатать символы на клавиатуре ( но не...
Как настроить фильтры в майл ру
Здравствуйте. Сегодня мы с вами поговорим о том, что такое фильтр электронной почты и для чего он нужен? Вы, наверное,...
Adblock detector