Поиск простых чисел в массиве

Поиск простых чисел в массиве

Простые числа — это натуральные числа больше 1, которые делятся только сами на себя или на 1. Часто возникающая (например, при шифровании данных) задача — найти все простые числа от 2 до заданного N. Для этого придумано несколько алгоритмов разной эффективности. Давайте рассмотрим их реализацию на PHP.

Простой перебор делителей

Это простейший и наименее эффективный алгоритм из рассмотренных. Для небольших чисел, однако, он вполне применим.

Суть алгоритма: мы просто последовательно перебираем все числа от 2 до N и проверяем, простые они, или нет. Функция проверки на простоту перебирает все нечетные числа от 2 до квадратного корня из N и, если находит такое, на которое N делится без остатка, то число считается составным, а если не находит, то простым.

Эффективность такого алгоритма: O(n * sqrt(n))

Решето Эратосфена

Этот алгоритм как бы «просеивает» все числа от 0 до максимального N через условное решето несколько раз. Сначала последовательно исключаются все числа, кратные 2. Само число добавляется в массив простых чисел. Далее из оставшихся исключаются все числа, кратные следующему простому числу — трем. 4 уже было удалено из исходного массива, соответственно, следом удаляются все числа, кратные 5, и так далее, пока не будут перебраны все числа.

Вот пример решета Эратосфена на PHP:

Такой алгоритм имеет эффективность O(n * log(log n)) .

Метод нахождения псевдопростых чисел с использованием теста простоты Ферма

Данный метод позволяет находить простые числа гораздо быстрее предыдущих двух, однако, это будут псевдопростые числа, то есть числа, которые являются простыми лишь с некоторой (тем не менее, очень высокой, около 100%) вероятностью.

Здесь используется тест Ферма, который гласит: если p-простое число, то если возвести число n в степень (p-1), а потом взять результат возведения в степень по модулю p (остаток от деления на p), то в итоге получится 1.

Проблема в том, что если p не является простым, то есть вероятность, что в результате описанных вычислений вы все равно получите 1. Тогда n называется обманщиком Ферма, а если результат не равен 1, то число n называют свидетелем Ферма, так как оно верно указывает на составную природу тестируемого числа p. Вероятность того, что выбранное произвольно для теста число n окажется свидетелем Ферма 50%. Это, конечно, лишает смысла одиночный тест на простоту, но если провести несколько тестов с разными n, то вероятность можно многократно увеличить до приемлемых величин. Скажем, 10 последовательных тестов с разными n, которые выдали, что число является простым, дадут вероятность того, что число все же было составным, всего в 0.00098. 100 тестов и вовсе дадут число, кратное десяти в степени -31. Для практического применения такой низкой вероятности ошибки вполне достаточно.

Вот реализация поиска простых чисел с использованием теста Ферма на PHP:

Дан массив arr [] из N натуральных чисел. Задача состоит в том, чтобы написать программу для подсчета количества простых элементов в данном массиве.

Примеры :

Наивный подход : простое решение состоит в том, чтобы обойти массив и продолжать проверять каждый элемент, является ли он простым или нет, и одновременно вести подсчет основных элементов.

Эффективный подход : сгенерируйте все простые числа до максимального элемента массива, используя сито Эратосфена, и сохраните их в хеше. Теперь просмотрите массив и найдите число тех элементов, которые являются простыми, используя хеш-таблицу.

Читайте также:  Знак сатаны на карте гугл

Ниже приведена реализация вышеуказанного подхода:

// Программа CPP для поиска количества
// простые числа в данном массиве.
#include

using namespace std;

// Функция для поиска числа простых чисел

int primeCount( int arr[], int n)

// Находим максимальное значение в массиве

int max_val = *max_element(arr, arr+n);

// ИСПОЛЬЗУЕМ СИТУ, ЧТОБЫ НАЙТИ ВСЕ ПЕРВЫЕ НОМЕРА

// ЧЕМ ИЛИ РАВНЫМ К max_val

// Создаем логический массив "prime [0..n]".

// значение в простом [i] будет, наконец, ложным

В заметке обсуждаются алгоритмы решета для поиска простых чисел. Мы подробно рассмотрим классическое решето Эратосфена, особенности его реализации на популярных языках программирования, параллелизацию и оптимизацию, а затем опишем более современное и быстрое решето Аткина. Если материал о решете Эратосфена предназначен в первую очередь уберечь новичков от регулярного хождения по граблям, то алгоритм решета Аткина ранее на Хабрахабре не описывался.

На снимке — скульптура абстрактного экспрессиониста Марка Ди Суверо «Решето Эратосфена», установленная в кампусе Стэнфорского университета

Введение

Напомним, что число называется простым, если оно имеет ровно два различных делителя: единицу и самого себя. Числа, имеющие большее число делителей, называются составными. Таким образом, если мы умеем раскладывать числа на множители, то мы умеем и проверять числа на простоту. Например, как-то так:
(Здесь и далее, если не оговорено иное, приводится JavaScript-подобный псевдокод)
Время работы такого теста, очевидно, есть O(n ½ ), т. е. растет экспоненциально относительно битовой длины n. Этот тест называется проверкой перебором делителей.

Довольно неожиданно, что существует ряд способов проверить простоту числа, не находя его делителей. Если полиномиальный алгоритм разложения на множители пока остается недостижимой мечтой (на чем и основана стойкость шифрования RSA), то разработанный в 2004 году тест на простоту AKS [1] отрабатывает за полиномиальное время. С различными эффективными тестами на простоту можно ознакомиться по [2].

Если теперь нам нужно найти все простые на достаточно широком интервале, то первым побуждением, наверное, будет протестировать каждое число из интервала индивидуально. К счастью, если у нас достаточно памяти, можно использовать более быстрые (и простые) алгоритмы решета. В этой статье мы обсудим два из них: классическое решето Эратосфена, известное еще древним грекам, и решето Аткина, наиболее совершенный современный алгоритм этого семейства.

Решето Эратосфена

Древнегреческий математик Эратосфен предложил следующий алгоритм для нахождения всех простых, не превосходящих данного числа n. Возьмем массив S длины n и заполним его единицами (пометим как невычеркнутые). Теперь будем последовательно просматривать элементы S[k], начиная с k = 2. Если S[k] = 1, то заполним нулями (вычеркнем или высеем) все последующие ячейки, номера которых кратны k. В результате получим массив, в котором ячейки содержат 1 тогда и только тогда, когда номер ячейки — простое число.

Много времени можно сэкономить, если заметить, что, поскольку у составного числа, меньшего n, по крайней мере один из делителей не превосходит , процесс высевания достаточно закончить на . Вот анимация решета Эратосфена, взятая с Википедии:

Еще немного операций можно сэкономить, если — по той же причине — начинать вычеркивать кратные k, начиная не с 2k, а с номера k 2 .

Реализация примет следующий вид:

Эффективность решета Эратосфена вызвана крайней простотой внутреннего цикла: он не содержит условных переходов, а также «тяжелых» операций вроде деления и умножения.

Читайте также:  Как взорвать блок в автокаде

Оценим сложность алгоритма. Первое вычеркивание требует n/2 действий, второе — n/3, третье — n/5 и т. д. По формуле Мертенса

так что для решета Эратосфена потребуется O(n log log n) операций. Потребление памяти же составит O(n).

Оптимизация и параллелизация

Первую оптимизацию решета предложил сам Эратосфен: раз из всех четных чисел простым является только 2, то давайте сэкономим половину памяти и времени и будем выписывать и высеивать только нечетные числа. Реализация такой модификации алгоритма потребует лишь косметических изменений (код).

Более развитая оптимизация (т. н. wheel factorization) опирается на то, что все простые, кроме 2, 3 и 5, лежат в одной из восьми следующих арифметических прогрессий: 30k+1, 30k+7, 30k+11, 30k+13, 30k+17, 30k+19, 30k+23 и 30k+29. Чтобы найти все простые числа до n, вычислим предварительно (опять же при помощи решета) все простые до . Теперь составим восемь решет, в каждое из которых будут входить элементы соответствующей арифметической прогрессии, меньшие n, и высеем каждое из них в отдельном потоке. Все, можно пожинать плоды: мы не только понизили потребление памяти и нагрузку на процессор (в четыре раза по сравнению с базовым алгоритмом), но и распараллелили работу алгоритма.

Наращивая шаг прогрессии и количество решет (например, при шаге прогрессии 210 нам понадобится 48 решет, что сэкономит еще 4% ресурсов) параллельно росту n, удается увеличить скорость алгоритма в log log n раз.

Сегментация

Что же делать, если, несмотря на все наши ухищрения, оперативной памяти не хватает и алгоритм безбожно «свопится»? Можно заменить одно большое решето на последовательность маленьких ситечек и высевать каждое в отдельности. Как и выше, нам придется предварительно подготовить список простых до , что займет O(n ½-ε ) дополнительной памяти. Простые же, найденные в процессе высевание ситечек, нам хранить не нужно — будем сразу отдавать их в выходной поток.

Не надо делать ситечки слишком маленькими, меньше тех же O(n ½-ε ) элементов. Так вы ничего не выиграете в асимптотике потребления памяти, но из-за накладных расходов начнете все сильнее терять в производительности.

Решето Эратосфена и однострочники

На Хабрахабре ранее публиковалась большая подборка алгоритмов Эратосфена в одну строчку на разных языках программирования (однострочники №10). Интересно, что все они на самом деле решетом Эратосфена не являются и реализуют намного более медленные алгоритмы.

Дело в том, что фильтрация множества по условию (например, на Ruby) или использование генераторных списков aka list comprehensions (например, на Haskell) вызывают как раз то, избежать чего призван алгоритм решета, а именно поэлементную проверку делимости. В результате сложность алгоритма возрастает по крайней мере до (это число фильтраций), умноженного на (минимальное число элементов фильтруемого множества), где — число простых, не превосходящих n, т. е. до O(n 3/2-ε ) действий.

Однострочник на Scala ближе к алгоритму Эратосфена тем, что избегает проверки на делимость. Однако сложность построения разности множеств пропорциональна размеру большего из них, так что в результате получаются те же O(n 3/2-ε ) операций.

Вообще решето Эратосфена тяжело эффективно реализовать в рамках функциональной парадигмы неизменяемых переменных. В случае, если функциональный язык (например, OСaml) позволяет, стоит нарушить нормы и завести изменяемый массив. В [3] обсуждается, как грамотно реализовать решето Эратосфена на Haskell при помощи техники ленивых вычеркиваний.

Читайте также:  Horizon zero dawn древние сосуды
Решето Эратосфена и PHP

Запишем алгоритм Эратосфена на PHP. Получится примерно следующее:

Вторая проблема: массивы в PHP ужасны по накладным расходам памяти. У меня на 64-битной системе каждый элемент $S из кода выше съедает по 128 байт. Как обсуждалось выше, необязательно держать сразу все решето в памяти, можно обрабатывать его порционно, но все равно такие расходы дóлжно признать недопустимыми.

Для решения этих проблем достаточно выбрать более подходящий тип данных — строку!

Теперь каждый элемент занимает ровно 1 байт, а время работы уменьшилось примерно втрое. Скрипт для измерения скорости.

Решето Аткина

В 1999 году Аткин и Бернштейн предложили новый метод высеивания составных чисел, получивший название решета Аткина. Он основан на следующей теореме.

Теорема. Пусть n — натуральное число, которое не делится ни на какой полный квадрат. Тогда

  1. если n представимо в виде 4k+1, то оно просто тогда и только тогда, когда число натуральных решений уравнения 4x 2 +y 2 = n нечетно.
  2. если n представимо в виде 6k+1, то оно просто тогда и только тогда, когда число натуральных решений уравнения 3x 2 +y 2 = n нечетно.
  3. если n представимо в виде 12k-1, то оно просто тогда и только тогда, когда число натуральных решений уравнения 3x 2 −y 2 = n, для которых x >y, нечетно.

C доказательством можно ознакомиться в [4].

Из элементарной теории чисел следует, что все простые, большие 3, имеют вид 12k+1 (случай 1), 12k+5 (снова 1), 12k+7 (случай 2) или 12k+11 (случай 3).

Для инициализации алгоритма заполним решето S нулями. Теперь для каждой пары (x, y), где , инкрементируем значения в ячейках S[4x 2 +y 2 ], S[3x 2 +y 2 ], а также, если x > y, то и в S[3x 2 −y 2 ]. В конце вычислений номера ячеек вида 6k±1, содержащие нечетные числа, — это или простые, или делятся на квадраты простых.

В качестве заключительного этапа пройдемся по предположительно простым номерам последовательно и вычеркнем кратные их квадратам.

Из описания видно, что сложность решета Аткина пропорциональна n, а не n log log n как у алгоритма Эратосфена.

Авторская, оптимизированная реализация на Си представлена в виде primegen, упрощенная версия — в Википедии. На Хабрахабре публиковалось решето Аткина на C#.

Как и в решете Эратосфена, при помощи wheel factorization и сегментации, можно снизить асимптотическую сложность в log log n раз, а потребление памяти — до O(n ½+o(1) ).

О логарифме логарифма

На самом деле множитель log log n растет крайне. медленно. Например, log log 10 10000 ≈ 10. Поэтому с практической точки зрения его можно полагать константой, а сложность алгоритма Эратосфена — линейной. Если только поиск простых не является ключевой функцией в вашем проекте, можно использовать базовый вариант решета Эратосфена (разве что сэкономьте на четных числах) и не комплексовать по этому поводу. Однако при поиске простых на больших интервалах (от 2 32 ) игра стоит свеч, оптимизации и решето Аткина могут ощутимо повысить производительность.

P. S. В комментариях напомнили про решето Сундарама. К сожалению, оно является лишь математической диковинкой и всегда уступает либо решетам Эратосфена и Аткина, либо проверке перебором делителей.

Ссылка на основную публикацию
Планшеты с видеовыходом hdmi
В современных планшетах применяются разъемы micro или mini HDMI, которые отличаются от классического HDMI размером. Для подключения планшета к телевизору...
Очисти историю нашего разговора
На протяжении долгого времени Skype удерживает позиции лидера на рынке приложений для виртуального общения. Сегодня эта программа для видеочатов доступна...
Очиститель воздуха iqair healthpro 150
Оглавление Паспортные характеристики, комплект поставки и цена Название моделиHealthPro 250 NEТипочиститель воздухаЦветсветло-серый/белыйУправлениемеханические кнопки на корпусе и ИК-пульт ДУМощность электрическаяот 20...
Планшеты от 10 дюймов и выше
Планшеты давно перестали быть дорогой «игрушкой». После уверенного завоевания мирового рынка китайскими брендами, качественные гаджеты стали доступными. В этом обзоре...
Adblock detector