Примерами гармонических колебаний служат колебания пружинного и математического маятников.
Пружинный маятник — тело массой т, колеблющееся на упругой пружине (рис. 5.5) и совершающее гармонические колебания под воздействием упругой силы:
где к — жесткость пружины.
Закон движения пружинного маятника:
где а — угол отклонения маятника от положения равновесия; а — амплитуда колебаний (максимальное значение угла отклонения).
При последовательном соединении пружин (рис. 5.5, б) общий коэффициент жесткости
При параллельном соединении пружин общий коэффициент жесткости (рис. 5.5, в)
Круговая (циклическая) частота:
Кинетическая энергия пружинного маятника:
Потенциальная энергия пружинного маятника:
Полная энергия пружинного маятника:
На рис. 5.6, а представлен график зависимости потенциальной энергии Еп пружинного маятника от деформации х, где Е — полная энергия (прямая горизонтальная линия), кинетическая Ек и потенциальная Еп энергии заданы соответствующими отрезками ординат. Из рисунка следует, что с возрастанием деформации х потенциальная энергия маятника возрастает, кинетическая — уменьшается (и наоборот). В отсутствие трения полная энергия тела сохраняется (Е = Ек + Еи) при любых значениях х
Графические зависимости кинетической Ек, потенциальной Еп и полной энергий Е упругой деформации тел от времени t показаны на рис. 5.6, б.
Математический маятник — материальная точка массой т, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной I и колеблющаяся под действием силы тяжести (рис. 5.7).
Круговая (циклическая) частота:
Период и частота колебания математического маятника:
Если маятник движется вниз с ускорением а (или вверх с замедлением а), его период
Если маятник движется вверх с ускорением а (или вниз с замедлением а), его период
Если маятник движется с ускорением а в горизонтальном направлении, его период
Кинетическая энергия математического маятника:
Потенциальная энергия математического маятника:
Превращение энергии при гармонических колебаниях происходит в соответствии с законом сохранения энергии в консервативной системе:
При движении пружинного маятника от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая уменьшается (см. рис. 5.6, а). Когда маятник проходит положение равновесия (? = 0), его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия маятника максимальна и равна полной энергии. В состоянии максимального отклонения от положения равновесия скорость маятника равна нулю, следовательно, равна нулю и кинетическая энергия, а потенциальная — максимальна и равна полной энергии. Следовательно, в момент максимального отклонения и когда маятник проходит положение равновесия имеет место:
Приведенные сведения об энергии колебаний пружинного маятника имеют общее значение и справедливы для свободных гармонических незатухающих колебаний в любой колебательной системе.
Вынужденные колебания — колебания, происходящие под действием внешней, периодически действующей силы.
Вынужденные колебания совершают, например, игла швейной машины, нож электробритвы, поршень в цилиндре двигателя внутреннего сгорания и др.
Вынуждающая сила — сила, вызывающая вынужденные колебания.
Если вынуждающая сила меняется гармонически по закону F = Fmaxcos(ot (Fmax — амплитуда вынуждающей силы, со — ее циклическая частота), то в колебательной системе, на которую действует эта сила, через определенное время (соответствует переходному режиму) устанавливаются гармонические вынужденные колебания с частотой, равной частоте со вынуждающей силы (рис. 5.8).
Уравнение вынужденных колебаний:
где А — амплитуда вынужденных колебаний; ю — циклическая частота свободных незатухающих колебаний системы; ср — разность фаз между смещением х и вынуждающей силой F. Амплитуда установившихся вынужденных колебаний:
где Fmax — амплитуда вынуждающей силы; т — масса колеблющейся системы; со — циклическая частота внешней силы; г —
коэффициент сопротивления; (3 =—коэффициент затуха-
Для вынужденных колебаний характерно явление резонанса.
Разность фаз между смещением и вынуждающей силой:
Резонанс — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте ш колебаний системы. Соответственно величина а>рсз называется резонансной циклической частотой, а кривые зависимости А от оз — резонансными кривыми (рис. 5.9).
Резонансная циклическая частота и резонансная амплитуда:
Возрастание амплитуды вынужденных колебаний при резонансе выражено тем отчетливее, чем меньше трение в системе (Р —*? 0). На практике амплитуда А в точке со конечна за счет сопротивления среды (р| > р2 > Ро), поэтому с ростом резонансная частота сдвигается в сторону меньших частот, а резонансная амплитуда — понижается (Арез1
У всех видов энергии есть общее свойство: энергия ниоткуда не возникает и никуда не исчезает; она лишь переходит из одного вида в другой или от одного тела к другому. Это утверждение называется законом сохранения энергии. Пока мы изучим его качественно, поскольку количественный аспект рассматривается в старших классах.
 |
Колебания нитяного маятника. На рисунке слева вы видите груз, качающийся на нити. Сначала его оттянули вправо, и он приподнялся на высоту h над своим нижним положением. В этот момент груз имел наибольшую потенциальную энергию под действием силы тяжести.
Когда груз отпустили, он начал двигаться влево, увеличивая скорость. Следовательно, кинетическая энергия груза возрастает. Одновременно груз опускается, и в среднем положении его потенциальная энергия становится наименьшей. Однако в этот момент скорость груза является наибольшей. Поэтому за счёт запаса кинетической энергии, продолжая двигаться влево, груз поднимается всё выше. Это приводит к возрастанию его потенциальной энергии. Одновременно скорость груза уменьшается, что вызывает уменьшение кинетической энергии.
В этом примере энергия одного и того же тела переходит из одного вида в другой: из кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Рассмотрим теперь примеры, когда энергия переходит не только из одного вида в другой, но и от одного тела к другому.
 |
Колебания пружинного маятника. Взгляните на рисунок. Сначала груз на пружине оттянули вниз. Пружина растянулась, следовательно, сила упругости возросла. Увеличение этой силы означает увеличение потенциальной энергии пружины.
После отпускания груза пружина сжимается. По мере её сжатия сила упругости пружины уменьшается, значит, уменьшается потенциальная энергия пружины. Однако одновременно возрастает кинетическая энергия груза, так как при разгоне вверх увеличивается его скорость. Одновременно возрастает потенциальная энергия груза под действием силы тяжести, так как груз поднимается выше. Эти превращения энергии из одного вида в другой и переходы от тела к телу происходят периодически.
В только что рассмотренном примере энергия переходила из одного вида в другие: из потенциальной под действием силы упругости в кинетическую, а также в потенциальную под действием силы тяжести, и наоборот. Кроме того, энергия переходила от одного тела к другому: от пружины к грузу, и наоборот.
- Сформулируйте закон сохранения энергии.
- Закон сохранения энергии в 7 классе мы изучим .
Торможение тела силой трения. На правом рисунке сверху изображено колесо едущего поезда; снизу – то же колесо, но при торможении поезда: тормозные колодки прижались к колесу. Возникшая сила трения замедляет вращение колёс, а значит, и скорость поезда. Это приводит к уменьшению его кинетической энергии. Колодки и колесо в нижней части рисунка не случайно выделены красным цветом: они настолько сильно нагреваются из-за трения, что при касании рукой можно получить ожог.
В этом примере мы наблюдали превращение механической энергии во внутреннюю энергию: кинетическая энергия всего поезда превращалась во внутреннюю энергию его тормозных колодок, колёс и воздуха, который тоже нагревался (соприкасаясь с горячими колёсами и тормозными колодками).
Итак, все рассмотренные в этом параграфе примеры являются качественными подтверждениями всеобщего закона сохранения энергии, который иногда называют законом сохранения и превращения энергии.
- Когда высота груза над его нижним положением была наибольшей, .
- У груза, начавшего движение влево, скорость возрастает, .
- Постепенно высота расположения груза уменьшается, и .
- До середины пути скорость груза возрастала, и в нижней точке .
- Продолжая движение влево и расходуя свою кинетическую энергию, .
- По мере возрастания потенциальной энергии .
- В рассмотренном примере энергия одного и того же тела, груза, .
- Опускание груза на пружине привело к тому, что .
- Возрастание силы упругости приводит к возрастанию .
- При движении груза вверх потенциальная энергия пружины убывает, так как .
- Убыль потенциальной энергии сжимающейся пружины с подвешенным к ней грузом приводит к тому, что .
- Поскольку Е п из-за действия силы упругости перешла в Е п под действием силы тяжести, а также в Е к , мы делаем вывод: .
- Поскольку энергия переходила не только из одних видов в другие, но и от пружины к грузу и наоборот, мы делаем вывод: .
- Рассмотрев превращения механической энергии, рассмотрим превращения внутренней энергии, когда происходит .
- Прижатие тормозных колодок к колёсам поезда приводит к тому, что .
- При этом уменьшение скорости движения поезда .
- Убыль кинетической энергии поезда приводит к тому, что его тормозные колодки и колёса .
- Поскольку кинетическая энергия всего поезда превращалась во внутреннюю энергию его тормозных колодок, колёс и воздуха, то .
Физика.ru • Клуб для учителей физики, учащихся 7-9 классов и их родителей
Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити, находящейся в поле тяжести Земли. Математический маятник — это идеализированная модель, правильно описывающая реальный маятник лишь при определенных условиях. Реальный маятник можно считать математическим, если длина нити много больше размеров подвешенного на ней тела, масса нити ничтожна мала по сравнению с массой тела, а деформации нити настолько малы, что ими вообще можно пренебречь.
Колебательную систему в данном случае образуют нить, присоединенное к ней тело и Земля, без которой эта система не могла бы служить маятником.
,
где ах – ускорение, g – ускорение свободного падения, х — смещение, l – длина нити маятника.
Это уравнение называется уравнением свободных колебаний математического маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:
1) будем считать, что силы трения, действующие на тело, пренебрежимо малы и потому, их можно не учитывать;
2) рассматриваются лишь малые колебания маятника с небольшим углом размаха.
Свободные колебания любых систем во всех случаях описываются аналогичными уравнениями.
Причинами свободных колебаний математического маятника являются:
1. Действие на маятник силы натяжения и силы тяжести, препятствующей его смещению из положения равновесия и заставляющей его снова опускаться.
2. Инертность маятника, благодаря которой он, сохраняя свою скорость, не останавливается в положении равновесия, а проходит через него дальше.
Период свободных колебаний математического маятника
.
Период свободных колебаний математического маятника не зависит от его массы, а определяется лишь длиной нити и ускорением свободного падения в том месте, где находится маятник.
Превращение энергии при гармонических колебаниях
При гармонических колебаниях пружинного маятника происходят превращения потенциальной энергии упруго деформированного тела
в его кинетическую энергию 
, гдеk – коэффициент упругости,х — модуль смещения маятника из положения равновесия,m— масса маятника,v— его скорость. В соответствии с уравнением гармонических колебаний:
, 
.
Полная энергия пружинного маятника:
.
Полная энергия для математического маятника:
В случае математического маятника 
Превращения энергии при колебаниях пружинного маятника происходи в соответствии с законом сохранения механической энергии (
). При движении маятника вниз или вверх от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая — уменьшается. Когда маятник проходит положение равновесия (х = 0), его потенциальная энергия равна нулю и кинетическая энергия маятника имеет наибольшее значение, равное его полной энергии.
Таким образом, в процессе свободных колебаний маятника его потенциальная энергия превращается в кинетическую, кинетическая в потенциальную, потенциальная затем снова в кинетическую и т. д. Но полная механическая энергия при этом остается неизменной.
Вынужденные колебания. Резонанс.
Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются вынужденными колебаниями. Внешняя периодическая сила, называемая вынуждающей, сообщает колебательной системе дополнительную энергию, которая идет на восполнение энергетических потерь, происходящих из-за трения. Если вынуждающая сила изменяется во времени по закону синуса или косинуса, то вынужденные колебания будут гармоническими и незатухающими.
В отличие от свободных колебаний, когда система получает энергию лишь один раз (при выведении системы из состояния равновесия), в случае вынужденных колебаний система поглощает эту энергию от источника внешней периодической силы непрерывно. Эта энергия восполняет потери, расходуемые на преодоление трения, и потому полная энергия колебательной системы no-прежнему остается неизменной.
Частота вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы. В случае, когда частота вынуждающей силы υ совпадает с собственной частотой колебательной системы υ, происходит резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний — резонанс. Резонанс возникает из-за того, что при υ = υ внешняя сила, действуя в такт со свободными колебаниями, все время сонаправлена со скоростью колеблющегося тела и совершает положительную работу: энергия колеблющегося тела увеличивается, и амплитуда его колебаний становится большой. График зависимости амплитуды вынужденных колебаний Ат от частоты вынуждающей силы υ представлен на рисунке, этот график называется резонансной кривой:
Явление резонанса играет большую роль в ряде природных, научных и производственных процессов. Например, необходимо учитывать явление резонанса при проектировании мостов, зданий и других сооружений, испытывающих вибрацию под нагрузкой, в противном случае при определенных условиях эти сооружения могут быть разрушены.
