Проверить потенциальность поля и найти потенциал

Проверить потенциальность поля и найти потенциал

Формулой

(6.10)

можно пользоваться для нахождения потенциальной функции заданного потенциального поля

a(x, y, z)=P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k.

Для этого зафиксируем начальную точку М(x, y, z) и соединим ее с текущей точкой М(x, y, z) ломанной МАВМ, звенья которой параллельны координатным осям, а именно, МА?Ох, АВ?Оу, ВМ?Оz (рис.6.2). Тогда формула (6.6) примет вид

, (6.11)

где х, у, z — координаты текущей точки на звеньях ломанной, вдоль которых ведется интегрирование.

Пример 6.7. Доказать, что векторное поле

a= (e + z)i + (x + z)j + (x + y)k

является потенциальным, и найти его потенциал.

Решение. 1-й способ. Необходимым и достаточным условием потенциальности поля а(М) является равенство нулю rot a(M). В нашем случае

т. е. поле является потенциальным. Потенциал этого поля найдем с помощью формулы (6.10). За начальную фиксированную точку примем начало координат О(0, 0, 0). Тогда получим

где С — произвольная постоянная.

2-й способ. По определению потенциал есть такая скалярная функция, для которой grad φ=а. Это векторное равенство равносильно трем скалярным равенствам:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

Интегрируя (6.12) по х, получим

, (6.15)

где f(y, z)-произвольная дифференцируемая функция от y и z. Дифференцируя по у обе части (6.12) и учитывая (6.11), получим соотношение для нахождения пока неопределенной функции f(y, z). Имеем

,

. (6.16)

Проинтегрировав (6.16) по у, будем иметь

, (6.17)

где F(z)- пока неопределенная функция от z. Подставив (6.17) в (6.11) получим

.

Продифференцировав последнее равенство по z и учитывая соотношение (6.12), получим уравнение для нахождения F(z):

Отсюда , так что .

.

3-й способ. По определению полного дифференциала функции имеем

Подставляя сюда вместо частных производных , , их выражения из (6.10), (6.11), (6.12), получим

dφ =(y + z)dx + (x + z)dy + (x + y)dz

или, после несложных преобразований,

Отсюда следует, что

.

В том случае, когда область Ω является звездной с центром в начале координат О(0, 0, 0), потенциал φ(М) векторного поля а=а(М) в точке М(x, y, z) можно находить по формуле

, (6.18)

где r(M)=xi + yj + zk- радиус-вектор точки M(x, y, z), а точка (tx,ty,tz) при пробегает отрезок ОМ прямой, проходящей через точки О и М.

Читайте также:  Amd radeon hd 7660g trinity

Пример 6.8. Найти потенциал векторного поля

а= yzi + xzj + xyk.

Решение. Легко видеть, что rot a 0, т. е. данное векторное поле потенциально. Это поле определено во всем трехмерном пространстве, которое является звездным с центром в начале координат О(0, 0, 0), поэтому для нахождения его потенциала воспользуемся формулой (6.12). Так как в данном случае

a( )=а(tx, ty, tz)= t 2 yzi + t 2 xzj + t 2 xyk,

то скалярное произведение векторов a( ) и r(M) равно

(a( ), r(M))=t 2 (xyz+xyz+xyz)=3t 2 xyz.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 9505 — | 7531 — или читать все.

A = grad u = . (119)

При этом функция и называется потенциалом данного векторного поля.

Примерами потенциальных полей являются поле тяготения точечной массы т, помещенной в начале координат, электрическое поле точечного заряда е, находящегося в начале координат, и другие.

Выясним, при каких условиях векторное поле является потенциальным.

Так как из (119) следует, что то

так как смешанная производная второго порядка не зависит от порядка дифференцирования. Из этих равенств легко получаем, что

условие потенциальности векторного поля.

Из предыдущих рассуждений следует, что любое потенциальное поле является безвихревым. Можно доказать и обратное, то есть то, что любое безвихревое поле есть поле потенциальное.

Определить, является ли векторное поле потенциальным. В случае положительного ответа найти его потенциали в предположении, что в начале координат и = 0.

Вычислим частные производные функций ,

Следовательно, то естьrot F = 0 – выполнено условие (120), и поле является потенциальным.

Тогда .

8. Соленоидальные и гармонические векторные поля

Замечание. Так как дивергенция характеризует плотность источников поля А, то в области, где поле соленоидально, нет источников этого поля. Примером соленоидального поля может служить поле точечного заряда е во всех точках, кроме точки, где расположен заряд.

Условием соленоидальности поля является требование, что вектор А является ротором некоторого вектора В: A = rot B. Докажем это.

Читайте также:  Как восстановить удаленный лист в книге excel

Действительно, если , то

=

Определение 30. Скалярное поле, задаваемое функцией u = u(x, y, z), называется гармоническим в некоторой области, если функция и в этой области удовлетворяет уравнению Лапласа: Δ и = 0.

Примеры: линейная функция, потенциал электрического поля точечного заряда или поля тяготения точечной массы.

Литература

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969.

Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1989.

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука, 1999.

Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Т.2. М.: Наука, 1965.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Т.2. М.: Наука, 1981.

Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа (под редекцией А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича). – Т.2. М.: Наука, 1981.

Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 1973.

Нахождение потенциала
  1. Услуги проектирования
  2. Теория поля
  3. Нахождение потенциала

В предыдущем разделе мы доказали, что если выполняются условия потенциальности поля $ar < a >(mathbf < extit < M >> )$, то $varphi (M)=intlimits_ < mathop < M_0 M >limits^cup > < ar < a >dar < r >> $, где $M_0 in V$ — фиксированная точка. Обычно, если в точке $mathbf < extit < O >> (0,0,0)$ поле не имеет особенностей, то в качестве точки $M_0 (x_0 ,y_0 ,z_0 )$ берётся именно эта точка, если в этой точке поле не определено, берётся другая точка.

Интегрирование ведут по пути, состоящим из отрезков, параллельных координатным осям. В результате получим $varphi (M)=intlimits_ < x_0 >^x < P(x,y_0 ,z_0 )dx >+intlimits_ < y_0 >^y < Q(x,y,z_0 )dy >+intlimits_ < z_0 >^z < R(x,y,z)dz >$.

Доказать, что поле $ar < a >(x,y,z)=frac < ycos (xy) > < z >ar < i >+frac < xcos (xy) > < z >ar < j >-frac < sin (xy) > < z^2 >ar < k >$ потенциально и найти потенциал этого поля.

Читайте также:  Монитор 27 дюймов оптимальное разрешение

Решение

Мы будем доказывать, что это поле потенциально в любой односвязной области $mathbf < extit < V >> $, не содержащей точку $mathbf < extit < O >> (0,0,0)$. Условие безвихревости поля $ar < a >$:

В нашем поле $P(x,y,z)=frac < ycos (xy) > < z >, Q(x,y,z)=frac < xcos (xy) > < z >,R(x,y,z)=-frac < sin (xy) > < z^2 >$. Находим производные:

Ищем потенциал. Интеграл $varphi (M)=intlimits_ < mathop < M_0 M >limits^cup > < ar < a >dar < r >> $ вычисляем по изображённому на рисунке пути, отправляясь от точки $mathbf < extit < M >> _ < 0 >$(0,0,1). $varphi (x,y,z)=intlimits_0^x < frac < 0cdot cos (xcdot 0) > < 1 >dx > +intlimits_0^y < frac < xcdot cos (xy) > < 1 >dy > -intlimits_1^z < frac < sin (xy) > < z^2 >dz > = =left. < sin (xy) >
ight|_0^y +left. < frac < sin (xy) > < z >>
ight|_1^z =sin (xy)+left[ < frac < sin (xy) > < z >-sin (xy) >
ight]=frac < sin (xy) > < z >$.

Если бы мы взяли в качестве точки $mathbf < extit < M >> _ < 0 >$ другую точку $mathbf < extit < M >> _ < 1 >$, то получили бы выражение, отличающееся на некоторую постоянную < более точно, на $C=intlimits_ < mathop < M_0 M_1 >limits^cup > < ar < a >dar < r >> )$, поэтому $varphi (x,y,z)= frac < sin (xy) > < z >+C$.

Далее:

Поток векторного поля через поверхность

Класс M. Теорема о замкнутости класса M

Вычисление площади поверхности

Замена переменных в тройном интеграле

Формула Грина

Векторное поле

Поверхностный интеграл второго рода и его свойства

Механические и физические приложения поверхностного интеграла первого рода

Специальные векторные поля

Класс $T_0$. Теорема о замкнутости класса $T_0$

Вычисление поверхностного интеграла первого рода

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам

Вычисление поверхностного интеграла второго рода

Огравление $Rightarrow $

Ссылка на основную публикацию
Представьте что вы приглашены
Обратить внимание на структуру урока: Цель: мотивировать деятельность учащихся на уроке; Эмоционально настроить детей на работу. 2. Словарно – орфографическая...
Потух экран на ноутбуке что делать
В этой статье мы рассмотрим возможные решения проблемы, когда ноутбук работает но не включается экран. Это может произойти с каждым...
Поцарапала сковороду с антипригарным покрытием что делать
Сковорода с антипригарным напылением — это современная кухонная утварь, которая есть почти на каждой кухне. Благодаря покрытию пища не прилипает...
Правила покупки билетов на поезд
» Железнодорожный транспорт » Правила продажи билетов на поезд Как купить железнодорожные билеты на поезд? Проездные документы действительны только по...
Adblock detector