Случайная величина x задана дифференциальной функцией распределения

Случайная величина x задана дифференциальной функцией распределения

Ранее мы представили примеры решений задач о дискретной случайной величине, теперь переходим к непрерывной. Формально в задачах требуется найти тоже самое: вычислить числовые характеристики, начертить графики, определить неизвестные параметры, найти вероятности событий.

Но формулы-то совсем другие (в силу непрерывности СВ), поэтому стоит разобраться в них хорошенько. Надеемся, наши примеры вам помогут (а если нет времени, закажите решение).

Ниже вы найдете примеры решений на самые разные законы распределений непрерывных случайных величин: законы $arcsin$ и $arctan$, тригонометрические и логарифмические функции, показательный, равномерный закон распределения, законы Коши, Симпсона, Лапласа и т.д.

Примеры решений

Задача 1. Случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения

1) Определить вероятность попадания случайной величины X в интервал $[pi, 5/4 pi]$.
2) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Задача 2. Случайная величина X задана плотностью вероятности:

Требуется:
а) найти коэффициент C;
б) найти функцию распределения F(x);
в) найти M(X), D(X), σ(X)
г) найти вероятность P(α -2t при t ≥ 0 и f(t)=0 при t Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:

Версия системы:
7.83 (12.03.2020)
JS-v.1.35 | CSS-v.3.37

Общие новости:
06.01.2020, 22:45

Последний вопрос:
15.03.2020, 21:43
Всего: 151782

Последний ответ:
15.03.2020, 12:04
Всего: 259867

Последняя рассылка:
15.03.2020, 15:45

РАЗДЕЛ • Математика

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

[администратор рассылки: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)]

Лучшие эксперты в этом разделе

Михаил Александров
Статус: Академик
Рейтинг: 1574
Коцюрбенко Алексей Владимирович
Статус: Старший модератор
Рейтинг: 908
CradleA
Статус: Профессор
Рейтинг: 350
Перейти к консультации №:

Уважаемые эксперты,помогите решить задачу по теории вероятности,заранее благодарен :

Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения

Читайте также:  Кардио браслет на руку с тонометром

1)определить вероятность попадания значения случайной величины Х в интервал [4,5]
2)найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х

Состояние: Консультация закрыта

Здравствуйте, Den1989!
Помогаю.
1)P(4 5 f(x)dx = ∫4 5 (x-3)dx/4 = 1/8*(x-3) 2 |4 5 =1/8*(4-1)=3/8
2)M(x)=∫-∞ ∞ f(x)dx = ∫-∞ 3 0xdx+1/4*∫3 5 x(x-3)dx + 1/4*∫5 7 x(7-x)dx + ∫7 ∞ 0xdx = 1/4∫3 5 (x 2 -3x)dx+1/4∫5 7 (7x-x 2 )dx = 1/4*(1/3*x 3 -3/2*x 2 )|3 5 + 1/4*(7/2*x 2 -1/3*x 3 )|5 7 =
1/4(125/3-75/2-27/3+27/2+343/2-343/3-175/2+125/3)=1/4(-120/3+120/2)=5
Т.е. математическое ожидание M(X)=5.
Дисперсию случайной величины D(X) вычислим по формуле: D(X)=M(X 2 )-M 2 (X)
Т.е. D(x)=∫-∞ ∞ x 2 f(x)dx-25.
-∞ ∞ x 2 f(x)dx =
1/4*∫3 5 x 2 (x-3)dx + 1/4*∫5 7 x 2 (7-x)dx =
1/4∫3 5 (x 3 -3x 2 )dx+1/4∫5 7 (7x 2 -x 3 )dx=
1/4*(1/4*x 4 -x 3 )|3 5 + 1/4*(7/3*x 3 -1/4*x 4 )|5 7 =
1/4*(625/4-125-81/4+27+2401/3-2401/4-875/3+625/4)=1/4(-308-98+1526/3)=25 2 /3

25.667
Тогда D(X)=25 2 /3-25=2/3
Все.
Рад был помочь!

Консультировал: Botsman
Дата отправки: 28.04.2009, 13:36

0

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Для описания распределения вероятностей непрерывной случайной величины используется дифференциальная функция распределения.

Дифференциальная функция распределения (ДФР) (или плотность вероятности) – это первая производная от интегральной функции.

Интегральная функция распределения является первообразной для дифференциальной функции распределения. Тогда

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от a до b:

Геометрический смысл ДФР состоит в следующем: вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью x, кривой распределения f(x) и прямыми x = a и x = b (рис. 4).

Рис. 4 График дифференциальной функции распределения принято называть кривой распределения.

Свойства дифференциальной функции распределения:

1. Дифференциальная функция распределения неотрицательна, т. е.

2. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то

Дифференциальную функцию распределения часто называют законом распределения вероятностей непрерывных случайных величин.

Читайте также:  Как заменить клавиатуру на ноутбуке samsung

При решении прикладных задач сталкиваются с различными законами распределения вероятностей непрерывных случайных величин. Часто встречаются законы равномерного и нормального распределения.

1.5. Равномерное распределение непрерывной случайной величины

Закон равномерного распределения вероятностей непрерывной случайной величины используется при имитационном моделировании сложных систем на ЭВМ как первоначальная основа для получения всех необходимых статистических моделей. При этом, если специально не оговорен закон распределения случайных чисел, то имеют ввиду равномерное распределение.

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале (a,b), которому принадлежат все возможные значения случайной величины, дифференциальная функция распределения имеет постоянное значение, т. е. f(x) = C.

Отсюда закон равномерного распределения аналитически можно записать так:

График дифференциальной функции равномерного распределения вероятностей представлен на рис.5

Рис. 5 График дифференциальной функции равномерного распределения вероятностей.

Интегральную функцию равномерного распределения аналитически можно записать так:

График интегральной функции равномерного распределения вероятностей представлен на рис. 6

Рис. 6 График интегральной функции равномерного распределения вероятностей.

1.6. Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится пользоваться, так называемыми, числовыми характеристиками случайной величины. К ним относятся:

1.математическое ожидание M;

3.среднее квадратичное отклонение.

Математическое ожидание дискретной случайной величины X – это сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b] – это определенный интеграл

Математическое ожидание случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) есть неслучайная (постоянная) величина. Она характеризует среднее значение случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1.M(C)=C – математическое ожидание константы равно самой константе

2.

3.

Дисперсия и среднее квадратичное отклонение – это числовые характеристики случайной величины, которые позволяют оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Читайте также:  Как узнать разрешение камеры ноутбука

Отклонением называют разность между значением случайной величины и ее математическим ожиданием, т. е.

Пусть закон распределения дискретной случайной величины известен:

Так как одни возможные отклонения положительны, а другие отрицательны, то математическое ожидание отклонения обладает важным свойством:

M(X – M(X))=0, т.е. математическое ожидание отклонения всегда равно нулю.

Поэтому для оценки рассеяния случайной величины вокруг ее математического ожидания вычисляют квадрат отклонения случайной величины.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Для дискретной случайной величины: D(X) = M(х – M(X)) 2

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей формулой: D(X)=M(X 2 )–(M(X)) 2 , т. е. дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.

Для непрерывной случайной величины:

В последнем выражении все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку (a, b).

Дисперсия случайной величины (как дискретной, так и случайной) есть неслучайная величина (постоянная величина).

2. D (CX) = С 2 D (X)

3. D (X+Y) = D (X) + D (Y),

5. D (X-Y) = D (X) – D (Y).

Дискретная случайная величина задана законом распределения:

Математическое ожидание этой случайной величины равно:

Закон распределения квадрата случайной величины, т. е. X 2 :

Математическое ожидание X 2 равно:

Тогда дисперсия приведенной случайной величины равна:

Среднее квадратичное отклонение:

.

Свойство среднеквадратичного отклонения:

Рассмотрим пример, если задана непрерывная случайная величина.

Пусть непрерывная случайная величина задана интегральной функцией распределения:

Найдем дифференциальную функцию распределения:

Математическое ожидание X и X 2 :

Если равномерно распределенная случайная величина задана в интервале [a,b], то ее математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение равны:

Ссылка на основную публикацию
Сколько рублей получают ютуберы
Видеохостинг YouTube — не только развлекательная площадка, но и хороший источник дохода. Тысячи пользователей выкладывают ролики, пытаясь привлечь внимание аудитории....
Самый дорогой самсунг 2018
Samsung / Самсунг - южнокорейская компания, ведущий производитель смартфонов в мире. В первом квартале 2018 года доля Самсунг на мировом...
Самый лучший smart tv
Ежегодные обновления телевизионных технологий делают телевизоры уже больше, чем обычным экраном для демонстрации каналов. Растет популярность функции Smart TV, которая...
Сколько света мотает компьютер
Выбирая комплектующие для персонального компьютера (ПК) обычно обращают внимание на производительность и объем памяти, порой забывая о том, сколько же...
Adblock detector