Собственные векторы метод данилевского

Собственные векторы метод данилевского

Большое количество задач с механики, физики и техники требует нахождение собственных значений и собственных векторов матриц, т.е. таких значений л, для которых существует нетривиальное решение однородной системы линейных алгебраических уравнений . Тут А-действительная квадратичная матрица порядка n с элементами ajk, а —вектор с компонентами x1, x2,…, xn Каждому собственному значению лi соответствует хотя бы одно нетривиальное решение. Если даже матрица А действительная, ей собственные числа (все или некоторые) и собственные векторы могут быть недействительными. Собственные числа являются корнями уравнения , где Е — единичная матрица порядка n

Данное уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А. Собственным векторам , которым соответствует собственному значению лi, называют ненулевое решение однородной системы уравнений . Таким образом, задача нахождения собственных чисел и собственных векторов сводится к нахождению коэффициентов характеристического уравнения, нахождению его корней и нахождению нетривиального решения системы.

Простой и изысканный метод нахождения характеристического многочлена предложил А.М.Данилевский. Рассмотрим идею метода. Рассмотрим матрицу A

Для которой находится характеристический многочлен, при помощи подобных преобразований преобразуется к матрице

которая имеет нормальную форму Фробениуса, то есть матрица имеет в явном виде в последнем столбце искомые коэффициенты характеристического уравнения. Т. к. подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен, а

Поэтому для обоснования метода достаточно показать, каким образом из матрицы A строится матрица P.

Подобные преобразования матрицы A к матрице P происходят последовательно. На первом шаге матрица А преобразовывается к подобной до неё матрице А (1) , в которой предпоследний столбец имеет необходимый вид. На втором шаге матрица А (1) преобразовывается на подобную к ней матрицу А (2) , в которой уже два предпоследних столбца имеют необходимый вид, и т.д.

На первом шаге матрица А умножается справа на матрицу

и слева на матрицу ей обратную

Первый шаг даёт

На втором шаге матрица А (1) умножается справа на матрицу

и слева на обратную к ней матрицу

Очевидно, что элементы матрицы

Это означает, что два предпоследних столбца матрицы А (2) имеют необходимый вид. Продолжая этот процесс, после n-1 шагов придем к матрице

которая имеет форму Фробениуса и подобная к входной матрице А. При этом на каждом шаге элементы матрицы А (j) находятся по элементам матрицы А (j-1) также, как мы находили элементы матрицы А (2) по элементам А (1) . При этом предпологается, что все элементы отличные от нуля. Если на j-ом шаге окажется, что , то продолжать процесс в таком виде не будет возможно. При этом могут возникнуть два случая:

Читайте также:  Виджеты яндекса для андроид

1. Среди элементов есть хотя бы один, отличный от нуля, например . Для продолжения процесса поменяем в А (j) местами первый и -й строчки и одновременно 1-й и -й столбцы. Такое преобразование матрицы А (j) будет подобным. После того, как получим матрицу , процесс можно продолжать, т.к. столбцы матрицы А (j) ,приведённые к необходимому виду не будут испорчены.

2. Все элементы равны нулю. Тогда матрица А (j) имеет вид , где F- квадратичная матрица порядка j, которая имеет нормальный вид Фробениуса; В—квадратная матрица порядка n-j, но , то есть характеристический многочлен матрицы F является делителем характеристического многочлена матрицы А. Для нахождения характеристического многочлена матрицы А необходимо еще найти характеристический многочлен матрицы В, для которой используем этот же метод.

Подсчитано, что количество операций умножения и деления, необходимых для получения характеристического многочлена матрицы порядка n составляет n(n-1)(2n+3)/2.

На данном этапе работы мы получили характеристический полином, корнями которого будут собственные числа матрицы А. Процедура нахождения корней полинома n-ой степени не проста. Поэтому воспользуемся пакетом MathCAD Professional для реализации данной задачи. Для поиска корней обычного полинома р(х) степени n в Mathcad включена очень удобная функция polyroots(V). Она возвращает вектор всех корней многочлена степени n, коэффициенты которого находятся в векторе V, имеющим длину равную n+1. Заметим, что корни полинома могут быть как вещественными, так и комплексными числами. Таким образом мы имеем собственные числа, при помощи которых мы найдём собственные векторы нашей матрицы А. Для нахождения собственных векторов воспользуемся функцией eigenvec(A,vi), где А-исходная матрица, vi-собственное число, для которого мы ищем собственный вектор. Данная функция возвращает собственный вектор дня vi.

может быть кто-нибудь может помочь найти информацию о том, как искать собственные значения и (главное) собственные вектора матрицы методом Данилевского в нерегулярном случае.
Под
нерегулярным случаем подразумевается случай, когда при приведении
исходной матрицы к форме Фробениуса на некотором шаге возникает деление
на нуль и для поиска собственных значений полученную матрицу нужно
разбивать на несколько частей

Здравствуйте, у меня проблема с отысканием собственного вектора методом Данилевского

Дана квадратная матрица 4х4, у которой две строки пропорциональны. То есть ранг матрицы меньше 4. Необходимо найти какое-нибудь собственное значение и соответствующий ему собственный вектор численным методом. В данном случае методом Данилевского.
Препод дал нам этот метод с ошибками в формулах, поэтому пользовался вот этим кратким руководством.
Суть метода заключается в том, что мы приводим исходную матрицу к матрице Фробениуса. Причем матрица Фробениуса и исходная матрицы будут подобны, а значит будут равны их характеристические уравнения, а значит и собственные числа.
Но вся сложность в исходной матрице. Ранг ее, как уже писал выше, меньше ее размера. А значит у нее как минимум одно свободное значение будет повторяться. Значит этому собственному значению будут соответствовать несколько взаимноортогональных собственных вектора.
При этом исходную матрицу нельзя привести к матрице Фробениуса, потому что на одном из шагов придется произвести деление на нуль.
Это подпадает под второй исключительный случай, описанный в кратком руководстве. Согласно этому случаю характеристическое уравнение исходной матрицы будет равно произведению характеристичесих уравнений матриц в левом верхнем и правом нижнем углу. Причем в правом нижнем углу матрица будет уже приведена к матрице Фробениуса, и надо будет привести только матрицу в левом верхнем углу к матрице Фробениуса.

Читайте также:  Сколько тиков в 1 секунде minecraft

Это была такая длинная прелюдия.
В результате собственное значение я нашел. Причем специально нашел не то, которое кратное.
Проблема в том, чтобы найти собственный вектор.
По методу Данилевского для матрицы, которая приведена к матрице Фробениуса, проводится следующее:
ищется вектор `y = `, где s — это собственное значение
и итоговый собственный вектор получится так: `x=B y`, где В — это матрица, полученная произведением матриц Mi, которыми мы приводили исходную матрицу к матрице Фробениуса.

Но я не нашел как отыскать собственный вектор в исключительном случае.
Потому что тут есть несколько вопросов:
— я мог бы найти вектор y для нижней правой матрицы, которая является матрицей Фробениуса, но это мне не помогает, потому что собственный вектор я не могу восстановить, потому что размерность вектора у будет меньше размерности матриц Mi.
— я думал занулить первую координату вектора у и восстановить х, но в результате ничего не получилось

я не писал тут конкретного условия, потому что хотел понять саму идеологию. уверен, что есть описание того, что нужно делать в этом случае.
если вдруг это поможет или понадобится, то тут файл Mathematica с тем, что я на данный момент сделал

Заранее спасибо

Отыскание собственных значений

Довольно простой и изящный способ получения характеристического многочлена дал А.М.Данилевский. Суть его метода состоит в преобразовании уравнения

При этом определитель (2) легко раскрывается, и мы получим:

D() = (-1)n [n — p1n-1 — p2n-2 — … — pn] (3)

Проиллюстрируем ход вычислений по методу Данилевского на примере матрицы четвертого порядка

Эта матрица должна быть преобразована к виду

(нормальная форма Фробениуса) преобразованиями подобия.

Делим все элементы третьего столбца на а43. Если а43 = 0, то предварительно находим среди элементов а41 и а42 отличный от нуля. Пусть это оказался а42. Тогда меняем местами вторую и третью строки и второй и третий столбцы. Если а41 = а42 = а43 = 0, то характеристический многочлен матрицы (4) примет вид

Читайте также:  Можно ли удалять майкрософт визуал c

и задача сведется к отысканию характеристического многочлена матрицы третьего порядка.

Вычтем теперь из i-го столбца (i = 1,2,4) полученной матрицы

третий столбец, умноженный на а41. При этом матрица примет вид

Наш процесс эквивалентен умножению матрицы (4) справа на матрицу

Чтобы получить матрицу, подобную исходной, мы должны умножить (8) слева на матрицу В1-1, равную

При этом получим

Умножение на В1-1 не изменяет первой и второй строк. Третья же стока получается путем сложения строк (8), умноженных соответственно на а41, а42 , а43 и а44.

На следующем этапе преобразуем третью строку. Это достигается путем умножения матрицы (10) справа на матрицы В2.

И последующего умножения слева на матрицу В1-1, равную

Ход вычислений подобен предыдущему. Матрица А будет приведена к виду

Наконец, умножая (14) справа на

мы придем к нормальной форме Фробениуса.

Для получения характеристического многочлена методом Данилевского потребуется (п2 — 1)(п + 1) операций умножения и деления.

Отыскание собственных векторов.

Пусть процесс перехода от матрицы А к матрице

осуществляется по методу Данилевского в его обычном виде. Тогда

Обозначим В=В1В2…Вп-1. Тогда С=В-1АВ. Пусть Y — собственный вектор матрицы С. Тогда

СY=Y или В-1АВY=Y. При этом АВY=ВY,

т.е. ВY является собственным вектором матрицы А. Поэтому, зная собственные векторы матрицы С, мы можем без труда находить собственные векторы матрицы А, так как матрицу В можно постепенно находить в процессе перехода от А к С.

Собственные векторы матрицы С находятся так же легко. Если расписать векторное равенство CY =Y по компонентам, то получим

p1y1 + p2y2 + p3y3 + … + pn-1yn-1 + pnyn =y1

Полагая yn=1, мы получим, используя последовательно эти уравнения снизу вверх,

Ссылка на основную публикацию
Сколько рублей получают ютуберы
Видеохостинг YouTube — не только развлекательная площадка, но и хороший источник дохода. Тысячи пользователей выкладывают ролики, пытаясь привлечь внимание аудитории....
Самый дорогой самсунг 2018
Samsung / Самсунг - южнокорейская компания, ведущий производитель смартфонов в мире. В первом квартале 2018 года доля Самсунг на мировом...
Самый лучший smart tv
Ежегодные обновления телевизионных технологий делают телевизоры уже больше, чем обычным экраном для демонстрации каналов. Растет популярность функции Smart TV, которая...
Сколько света мотает компьютер
Выбирая комплектующие для персонального компьютера (ПК) обычно обращают внимание на производительность и объем памяти, порой забывая о том, сколько же...
Adblock detector