Сумма четного и нечетного числа

Сумма четного и нечетного числа

Четность

Все знают, что числа бывают четные и нечетные. Четные числа — это те, которые делятся на 2 без остатка (например, 2, 4, 6 и т. п.). Каждое такое число можно записать в виде 2 k , подобрав подходящее целое k (например, 4 = 2 × 2, 6 = 2 × 3, и т. д.). Нечетные числа — это те, которые при делении на 2 дают в остатке 1 (например, 1, 3, 5 и т. п.). Каждое такое число можно записать в виде 2 k + 1, подобрав целое подходящее k (например, 3 = 2 × 1 + 1, 5 = 2 × 2 + 1, и т. д.).

Четные и нечетные числа обладают замечательными свойствами:

а) сумма двух четных чисел четна;

б) сумма двух нечетных чисел четна;

в) сумма четного и нечетного чисел — нечетное число.

1.1. Докажите приведенные выше свойства а) — в).

1.2. Какой (четной или нечетной) будет сумма нескольких

б) нечетных чисел?

1.3. Докажите, что

а) произведение двух четных чисел четно;

б) произведение двух нечетных нечетно;

в) произведение четного и нечетного чисел — четное число.

1.4. Каким (четным или нечетным) будет произведение нескольких

б) нечетных чисел?

1.5. Придумайте четыре целых числа, сумма и произведение которых являются нечетными числами.

1.6. Гости на дне рождения великого русского художника Валентина Серова сидели за круглым столом и ели персики. Когда персики закончились, гости посчитали персиковые косточки, и оказалось, что у каждой пары сидящих рядом гостей количество косточек отличалось на 1. Могло ли за столом сидеть

а) 3; б) 4; в) 98; г) 99 гостей?

1.7. В карманных часах Наполеона было 7 шестеренок, соединенных по цепочке (см. рис.). Кутузов, посмотрев на это, сказал, что они не могут вращаться одновременно. Прав ли великий русский полководец?

1.8. Петька купил журнал «Работа & Зарплата» объемом 136 листов со страницами, пронумерованными по порядку числами от 1 до 272. Василий Иванович вырвал из этого журнала 25 листов и сложил все 50 номеров страниц. Могло ли у него получиться 1990?

1.9. В дружине Дядьки Черномора 100 богатырей, и каждый вечер трое из них идут за пивом. Может ли через некоторое время оказаться так, что каждый с каждым ходил за пивом ровно один раз?

1.10. 25 гусар и 25 воспитанниц пансиона благородных девиц сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа — гусары.

1.11. Улитка ползет по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом. Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое число часов.

1.12. Три черепахи играют на прямой в чехарду. Каждый раз одна из них прыгает через другую (но не через двух сразу!). Могут ли они после 1991 прыжка оказаться на прежних местах?

Читайте также:  Номер скорой через сотовый телефон

1.13. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки "+" и "-" так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?

1.14. Дан осесимметричный выпуклый 101-угольник. Докажите, что ось симметрий проходит через одну из его вершин. Что можно сказать в случае 10-угольника?

1.15. В парламенте страны Зям-Лям две палаты, имеющие равное число депулямов. В голосовании по важному вопросу приняли участие все депулямы, причем воздержавшихся не было. Когда председатель сообщил, что решение принято с преимуществом в 23 голоса, лидер оппозиции заявил, что результаты голосования сфальсифицированы. Как он это понял?

1.16. На доске написаны числа 0, 1, 0, 0. За один шаг разрешается прибавить 1 к любым двум из них. Можно ли, повторяя эту операцию, добиться, чтобы все числа стали равными?

Графы

Мы определим граф как набор точек ( вершин ), некоторые из которых соединены между собой линиями ( ребрами ). Количество ребер, выходящих из данной вершины, мы будем называть ее степенью . Вершина графа, имеющая нечетную степень, называется нечетной , а имеющая четную степень — четной .

Теорема. Число нечетных вершин любого графа — четно.

2.1. Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля — Меркурий, Плутон — Венера, Земля — Плутон, Плутон — Меркурий, Меркурий — Венера, Уран — Нептун, Нептун — Сатурн, Сатурн — Юпитер, Юпитер — Марс и Марс — Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?

2.2. В Солнечном городе есть 9 домов с номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Незнайка обнаружил, что два дома соединены дорогой в том и только том случае, если двузначное число, составленное из номеров этих домов, делится на 3, и никакие 2 дороги не пересекаются. Можно ли добраться из дома № 1 в дом № 9?

2.3. Доска имеет форму креста, который получается, если из квадратной доски 4 × 4 выкинуть угловые клетки. Можно ли обойти ее ходом шахматного коня и вернуться на исходное поле, побывав на всех полях ровно по одному разу?

2.4. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими?

2.5. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 из них имеют по 3 друга (в этом классе), 11 — по 4 друга, а 10 — по 5 друзей?

2.6. В городе Маленьком все еще 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы было 4 телефона, каждый из которых соединен с тремя другими, 8 телефонов, каждый из которых соединен с шестью, и 3 телефона, каждый из которых соединен с пятью другими?

Читайте также:  Как создать учетную запись на xbox one

2.7. У короля 19 баронов-вассалов. Может ли оказаться так, что у каждого вассального баронства 1, 5 или 9 соседних баронств?

2.8. Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит 3 дороги, быть ровно 100 дорог?

2.9. Джон, приехав из Диснейленда, рассказывал, что там на заколдованном озере имеются 7 островов, с каждого из которых ведет 1, 3 или 5 мостов. Верно ли, что хотя бы один из этих мостов выходит на берег озера?

2.10. Докажите, что число людей, когда-либо живших на Земле и сделавших нечетное число рукопожатий, четно.

2.11. Можно ли на плоскости нарисовать 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?

Автор: Овчинникова Светлана Леонидовна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ СОШ №2
Населённый пункт: г.Орлова Кировской области
Наименование материала: методическая разработка
Тема: "Секреты четных и нечётных чисел"
Дата публикации: 03.11.2017
Раздел: среднее образование

Занятие математического кружка в 6 классе

«Секреты четных и нечетных чисел»

Задачи на четность и нечетность – классика олимпиадной математики. Решения

головоломок с применением четности и нечетности чисел всегда отличались

необычайной логической красотой и абсолютной прозрачностью выводов. Они

основываются на простейших свойствах арифметических операций (обычно на

сложении и вычитании).

Цели: 1. Знакомство учащихся с категориями математических задач, выходящих за

пределы школьной программы, успешное решение которых позволит школьникам более

уверенно чувствовать себя при изучении базового материала, а также подготовит их к

2. Развитие интереса к математике.

3. Развитие личности учащихся.

Разминка: (Этап мотивации). Математический калейдоскоп (решение занимательных

( Этап изучения нового материала)

Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета

и измерения. Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их

. Цифры 0, 2, 4, 6, 8 являются четными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 нечетными. Из признака

делимости на 2 следует, что натуральные числа, которые делятся на 2, называются

четными, остальные – нечетными.

Всякое четное число можно представить в виде 2n, где n – целое число.

Всякое нечетное число можно представить в виде 2n+1, где n – целое число.

2. Проверка домашнего задания (отчет групп о проверке четности или нечетности

суммы нескольких слагаемых ). Выдвижение гипотез о четности суммы любого

Сумма любого числа четных слагаемых – четна. (доказательство привести на

Если число нечетных слагаемых четно, то и сумма — четна. (Доказательство

показать на доске)

Если число нечетных слагаемых нечетно, то и сумма – нечетна.

Читайте также:  Темы для нокиа 310

(Доказательство показать на доске)

3. Решение задач: (Этап закрепления)

1) Четно или нечетно значение суммы 1+2+3+…+2012? (ответ: четно)

Вопросы:1. Сколько нечетных слагаемых? (5000)

2. Какой: четной или нечетной будет их сумма? Какое свойство использовали?

3. Сколько четных? (5000)

4. Какой: четной или нечетной будет их сумма?

2) Четно или нечетно значение суммы 1+3+5+…+2013?

Вопросы: 1. Какие здесь слагаемые?

3. Четной или нечетной будет их сумма? ( Ответ: нечетной).

3) Определить на четность числа: х+х, х+х+1001, 3(х+1), если х нечетное. (Ответ:

четное, нечетное, четное).

Можно ли разменять 100 рублей при помощи 25 монет достоинством 1 и 5

рублей? (Ответ: нет, сумма нечетного числа нечетных слагаемых – число

Кузнечик прыгает по прямой: первый раз на 1 см, второй раз на 2 см и т. д.

Может ли он через 25 прыжков вернуться на прежнее место? (Нет, чтобы

вернуться на прежнее место, общее число сантиметров должно быть четно, а сумма

6) В школе 1657 учащихся, причем мальчиков на 204 больше, чем девочек.

Доказать, что такого не может быть. (Если девочек х, то всего учеников 2х+204, а

это число четное).

4. Работа в парах с последующей проверкой. Игра « Математическая карусель».

1) Четно или нечетно значение суммы: 1+2+3+…+1000?

2) 1+3+5+…+99. Четно или нечетно значение суммы?

3) В доме лифт с кнопками +2 и -4. Можно ли с 3 этажа попасть на 8?

5. Домашнее задание:

Верно ли равенство 1х2+2х3+3х4+…+99х100=20002008? (Ответ: да, сумма

четных слагаемых всегда четна)

В наборе было 35 гирек массой 1г, 2г,3г, …,35г. Можно ли их разложить на две

равные по массе кучки, если гирьки в 1г, 3г и 5г потеряли? (Ответ: нет, 17

четных, 18 нечетных – 3 = 15 нечетных слагаемых на 2 не делится).

Можно ли в выражении 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 расставить вместо звездочек

знаки плюс или минус, чтобы получилось 100? (Ответ: нет).

6. Рефлексия (Нарисовать на листе бумаги смайлик, выражающий настроение

доказательство:
проведем его от противного
возьмем любое четное число a1 = 2*a
возьмем любое нечетное число b1 = 2*b + 1
число c — будет четным ( по нашему предположению от противного)
с = a1 + b1

с = 2*a + 2*b + 1
(c — 1) / 2 = a + b

т. к. с — четное, то (c — 1) — будет нечетным числом, при делении на двойку нечетного числа получается число рациональное,
у нас числа a и b целые, т. к. целые числа это замыкание множества натуральных чисел, то следовательно мы не можем получить
рациональное число при сложении целых чисел, отсюда противоречие, значит наше предположение не верно.

Ссылка на основную публикацию
Сравнить технические характеристики rx330 и rx350
Линейка популярных люксовых SUV Lexus RX пополнилась новой модификацией – RX 350. Теперь покупателем RX быть еще приятнее – ведь...
Сколько рублей получают ютуберы
Видеохостинг YouTube — не только развлекательная площадка, но и хороший источник дохода. Тысячи пользователей выкладывают ролики, пытаясь привлечь внимание аудитории....
Сколько света мотает компьютер
Выбирая комплектующие для персонального компьютера (ПК) обычно обращают внимание на производительность и объем памяти, порой забывая о том, сколько же...
Сравнить процессоры кирин и снапдрагон
Snapdragon 636 vs. Kirin 960: кто лучше? Результаты тестов и сравнительных таблиц, описанных в этой статье, помогут определить, какой из...
Adblock detector