Сумма делителей числа формула

Сумма делителей числа формула

Пусть или —сумма всех натуральных делителей натурального числа имеющего каноническое разложение (1).

Легко понять, что

так как слагаемые произведения совпадают с делителями числа .

Суммируя каждый сомножитель по формуле для суммы членов геометрической прогрессии, получаем

Если в каноническом разложении числа прибавить сомножитель , взаимно простой с остальными, то в правой части (1) появится дополнительный сомножитель, а в правой части (2) —сомножитель —, равный сумме делителей числа .

Вообще для взаимно простых и

откуда видно, что функция мультипликативная.

Совершенные числа. Специальные простые числа

Определение совершенных и дружественных чисел

Делители числа (имеются в виду натуральные делители), за исключением самого числа, называются его собственными делителями; их сумма равна .

Если для двух чисел сумма собственных делителей каждого из них равна другому, то такие числа называются дружественными; для них

Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме своих собственных делителей (или если оно дружественно самому себе), т. е. удовлетворяет условию

Определение совершенных и дружественных чисел имеются уже в «Началах» Евклида, они упоминаются и Платоном. Греки видели в них некую совершенную гармонию и приписывали им мистический характер.

Древним грекам была известна пара дружественных чисел и и четыре совершенных числа: .

Материал этой статьи про нахождение всех делителей числа. Сначала доказана теорема, которая задает вид всех общих делителей данного числа, после чего рассмотрены примеры нахождения всех делителей. Дальше показано, как вычисляется число делителей числа. В заключение подробно разобраны примеры нахождения всех общих делителей нескольких чисел и их количества.

Навигация по странице.

Все делители числа, их нахождение

Дальнейшее изложение подразумевает хорошее владение информацией статьи делители и кратные числа. Мы будем говорить лишь о поиске всех делителей целых положительных чисел (натуральных чисел). Этого вполне достаточно, так как одно из свойств делимости утверждает, что множество делителей целого отрицательного числа −a совпадает со множеством делителей противоположного числа a (которое будет положительным). Напомним также, что число 0 имеет бесконечно много делителей, и нахождение всех делителей нуля не представляет интереса.

положительными делителями простого числа a являются лишь единица и само это число. Следовательно, любое простое число a имеет четыре делителя, среди которых два положительных и два отрицательных: 1 , −1 , a и −a . Например, число 11 – простое, оно имеет всего четыре делителя 1 , −1 , 11 и −11 . Еще пример. Число 367 тоже простое, все его делители – это числа 1 , −1 , 367 и −367 .

Интереснее проходит поиск всех делителей составных чисел. Теоретическая основа этого процесса заключается в следующей теореме.

С одной стороны, по определению делимости число a делится на любое такое число d , так как существует такое целое число q=p1 (s1−t1) ·p2 (s2−t2) ·…·pn (sn−tn) , что a=d·q .

С другой стороны, всякое число d , которое делит a , имеет указанный вид, так как в силу свойств делимости оно не может иметь других простых множителей, кроме p1, p2, …, pn , а показатели этих множителей не могут превышать s1, s2, …, sn соответственно.

Из рассмотренной теоремы следует алгоритм нахождения всех положительных делителей данного числа. Чтобы найти все делители числа a нужно:

  • получить его каноническое разложение на простые множители вида a=p1 s1 ·p2 s2 ·…·pn sn ;
  • вычислить все значения выражения p1 t1 ·p2 t2 ·…·pn tn , в которых числа t1, t2, …, tn принимают независимо друг от друга каждое из значений t1=0, 1, …, s1 , t2=0, 1, …, s2 , …, tn=0, 1, …, sn .

Обычно наибольшую трудность представляет именно процесс перебора всех возможных комбинаций значений чисел t1, t2, …, tn . Сейчас мы последовательно рассмотрим решения нескольких примеров нахождения всех делителей чисел, откуда будут понятны все тонкости этого процесса.

Найдите все делители числа 8 .

Получить разложение на простые множители числа 8 не составляет труда: 8=2·2·2 . В канонической форме это разложение выглядит так: 8=2 3 . То есть, в нашем случае a=8 , p1=2 , s1=3 .

Тогда все делители числа 8 представляют собой значения выражения p1 t1 =2 t1 , в котором t1 принимает значения 0 , 1 , 2 и 3 ( 3 – последнее значение, так как s1=3 ). Итак, при t1=0 имеем 2 t1 =2 0 =1 , при t1=1 имеем 2 t1 =2 1 =2 , при t1=2 имеем 2 t1 =2 2 =4 , наконец, при t1=3 имеем 2 t1 =2 3 =8 .

Весь процесс нахождения делителей удобно проводить, заполняя таблицу следующего вида:

Таким образом, 1 , 2 , 4 и 8 – это все положительные делители числа 8 . Отрицательными делителями числа 8 являются −1 , −2 , −4 и −8 .

±1 , ±2 , ±4 , ±8 – все делители числа 8 .

Читайте также:  Как создать новую папку в компьютере

Рассмотрим более сложный пример нахождения всех делителей числа a , в нем разложение числа уже будет содержать два простых множителя.

Перечислите все натуральные делители числа 567 .

Сначала разложим на простые множители число 567 :

Каноническое разложение числа 567 на простые множители имеет вид 567=3 4 ·7 . Теперь для нахождения всех натуральных делителей числа 567 заставим t1 и t2 пробегать независимо друг от друга значения 0 , 1 , 2 , 3 , 4 и 0 , 1 соответственно, при этом будем вычислять значения выражения 3 t1 ·7 t2 . Все эти действия удобно поводить, заполняя следующую таблицу:

1 , 3 , 7 , 9 , 21 , 27 , 63 , 81 , 189 и 567 – все натуральные делители числа 567 .

Еще немного усложним пример.

Найдите все положительные делители числа 3 900 .

Разложив число 3 900 на простые множители, получим его каноническое разложение 3 900=2 2 ·3·5 2 ·13 . Все положительные делители найдем, вычисляя значения выражения 2 t1 ·3 t2 ·5 t3 ·13 t4 при t1=0, 1, 2 , t2=0, 1 , t3=0, 1, 2 , t4=0, 1 .


1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 10 , 12 , 13 , 15 , 20 , 25 , 26 , 30 , 39 , 50 , 52 , 60 , 65 , 75 , 78 , 100 , 130 , 150 , 156 , 195 , 260 , 300 , 325 , 390 , 650 , 780 , 975 , 1 300 , 1 950 , 3 900 — все положительные делители числа 117 000 .

Число делителей числа

Число положительных делителей данного числа a , каноническое разложение которого имеет вид a=p1 s1 ·p2 s2 ·…·pn sn , равно значению выражения (s1+1)·(s2+1)·…·(sn+1) . Величина записанного выражения дает количество всех возможных наборов переменных t1, t2, …, tn , где t1=0, 1, …, s1 , t2=0, 1, …, s2 , …, tn=0, 1, …, sn .

Приведем пример. Вычислим число натуральных делителей числа 3 900 из последнего примера, рассмотренного в предыдущем пункте. Мы выяснили, что 3 900=2 2 ·3·5 2 ·13 , тогда s1=2 , s2=1 , s3=2 , s4=1 . Осталось вычислить значение выражения (s1+1)·(s2+1)·(s3+1)·(s4+1) при данных значениях s1 , s2 , s3 и s4 , которое и даст нам искомое число натуральных делителей. Получаем (2+1)·(1+1)·(2+1)·(1+1)=3·2·3·2=36 . Следовательно, число 3 900 имеет 36 натуральных делителей. Если мы пересчитаем все делители числа 3 900 , полученные в предыдущем примере, то убедимся, что их количество действительно равно 36 . Число всех делителей (и положительных и отрицательных) числа 3 900 равно 36·2=72 , так как число 3 900 имеет 36 положительных делителей, и, следовательно, 36 отрицательных, противоположных каждому из положительных делителей.

Найдите число делителей числа 84 .

Разложим 84 на простые множители:

Таким образом, каноническое разложение имеет вид 84=2 2 ·3·7 . Тогда число положительных делителей равно (2+1)·(1+1)·(1+1)=12 . Следовательно, число всех делителей равно 2·12=24 .

число 84 имеет 24 делителя.

Нахождение всех общих делителей чисел и их количества

Из свойств наибольшего общего делителя следует, что множество делителей данных целых чисел совпадает со множеством делителей НОД этих чисел. Это утверждение относится как к двум числам, так и к трем, и к большему их количеству. Таким образом, чтобы найти все общие делители данных чисел, нужно определить НОД этих чисел и найти все его делители.

Рассмотрим решения примеров, в которых находятся все общие делители некоторых чисел.

Найдите все натуральные общие делители чисел 50 и 140 , а также их количество.

Сначала нам нужно найти наибольший общий делитель чисел 50 и 140 , для этого воспользуемся алгоритмом Евклида: 140=50·2+40 , 50=40·1+10 , 40=10·4 , то есть, НОД(50, 140)=10 .

Теперь определим все положительные делители числа 10 . Его разложение на простые множители имеет вид 10=2·5 . Тогда 2 0 ·5 0 =1 , 2 0 ·5 1 =5 , 2 1 ·5 0 =2 и 2 1 ·5 1 =10 – все делители числа 10 . Следовательно, числа 1 , 2 , 5 и 10 – это все положительные общие делители чисел 50 и 140 , количество этих делителей равно 4 .

1 , 2 , 5 и 10 – это все натуральные делители чисел 50 и 140 , их количество равно 4 .

Определите число всех положительных общих делителей четырех чисел 90 , 45 , 315 и 585 .

Сначала найдем НОД с помощью разложения чисел на простые множители. Так как 90=2·3·3·5 , 45=3·3·5 , 315=3·3·5·7 и 585=3·3·5·13 , то НОД(90, 45, 315, 585)=3·3·5=3 2 ·5 . Количество всех искомых положительных общих делителей исходных четырех чисел равно количеству всех положительных делителей НОД этих чисел. Вычислим количество делителей НОД(90, 45, 315, 585)=3 2 ·5 , оно равно (2+1)·(1+1)=6 .

В данной статье мы поговорим о том, как найти все делители числа. Начнем с доказательства теоремы, с помощью которой можно задать вид всех делителей определенного числа. Далее возьмем примеры нахождения всех нужных делителей и покажем, как именно определить, сколько делителей имеет конкретное число. В последнем пункте подробно рассмотрим примеры задач на нахождение общих делителей нескольких чисел.

Читайте также:  Сбрасывается разрешение экрана windows 7

Как найти все делители числа

Чтобы понять материал, изложенный в данном пункте, нужно хорошо знать, что вообще из себя представляют кратные числа и делители. Здесь мы поговорим только о поиске делителей натуральных чисел, т.е. целых положительных. Этим можно ограничиться, поскольку свойство делимости гласит, что делители целого отрицательного числа аналогичны делителям целого положительного, которое будет противоположным по отношению к этому числу. Также сразу уточним, что у нуля есть бесконечно большое число делителей, и находить их смысла не имеет, поскольку в итоге все равно получится 0 .

Если речь идет о простом числе, то его можно разделить только на единицу и на само себя. Значит, у любого простого числа a есть всего 4 делителя, два из которых больше 0 и два меньше: 1 , — 1 , a , — a . Возьмем простое число 7 : у него есть делители 7 , — 7 , 1 и — 1 , и все. Еще один пример: 367 – тоже простое число, которое можно разделить лишь на 1 , — 1 , 367 и — 367 .

Сложнее определить все делители составного числа. Сформулируем теорему, которая лежит в основе данного действия.

Допустим, у нас есть выражение, означающее каноническое разложение числа на простые множители, вида a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n . Тогда натуральными делителями числа a будут следующие числа: d = p 1 t 2 · p 2 t 2 · … · p n t n , где t 1 = 0 , 1 , … , s 1 , t 2 = 0 , 1 , … , s 2 , … , t n = 0 , 1 , … , s n .

Перейдем к доказательству этой теоремы. Зная основное определение делимости, мы можем утверждать, что a можно разделить на d , если есть такое число q , что делает верным равенство a = d · q , т.е. q = p 1 ( s 1 − t 1 ) · p 2 ( s 2 — t 2 ) · … · p n ( s n — t n ) .

Любое число, делящее a , будет иметь именно такой вид, поскольку, согласно свойствам делимости, других простых множителей, кроме p 1 , p 2 , … , p n , оно иметь не может, а их показатели в данном случае не превысят s 1 , s 2 , … , s n .

Учитывая доказательство этой теоремы, мы можем сформировать схему нахождения всех положительных делителей данного числа.

Для этого нужно выполнить следующие действия:

  1. Выполнить каноническое разложение на простые множители и получить выражение вида a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n .
  2. Найти все значения d = p 1 t 2 · p 2 t 2 · … · p n t n , где числа t 1 , t 2 , … , t n будут принимать независимо друг от друга каждое из значений t 1 = 0 , 1 , … , s 1 , t 2 = 0 , 1 , … , s 2 , … , t n = 0 , 1 , … , s n .

Самым трудным в таком расчете является именно перебор всех комбинаций указанных значений. Разберем подробно решения нескольких задач, чтобы наглядно показать применение данной схемы на практике.

Условие: найти все делители 8 .

Решение

Разложим восьмерку на простые множители и получим 8 = 2 · 2 · 2 . Переведем разложение в каноническую форму и получим 8 = 2 3 . Следовательно, a = 8 , p 1 = 2 , s 1 = 3 .

Поскольку все делители восьмерки будут значениями p 1 t 1 = 2 t 1 , то t 1 может принять значения нуля, единицы, двойки, тройки. 3 будет последним значением, ведь s 1 = 3 . Таким образом, если t 1 = 0 , то 2 t 1 = 2 0 = 1 , если 1 , то 2 t 1 = 2 1 = 2 , если 2 , то 2 t 1 = 2 2 = 4 , а если 3 , то 2 t 1 = 2 3 = 8 .

Для нахождения делителей удобно все полученные значения оформлять в виде таблицы:

t 1 2 t 1
2 0 = 1
1 2 1 = 2
2 2 2 = 4
3 2 3 = 8

Значит, положительными делителями восьмерки будут числа 1 , 2 , 4 и 8 , а отрицательными − 1 , − 2 , − 4 и − 8 .

Ответ: делителями данного числа будут ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 8 .

Возьмем пример чуть сложнее: в нем при разложении числа получится не один, а два множителя.

Условие: найдите все делители числа 567 , являющиеся натуральными числами.

Решение

Начнем с разложения данного числа на простые множители.

567 189 63 21 7 1 3 3 3 3 7

Приведем разложение к каноническому виду и получим 567 = 3 4 · 7 . Затем перейдем к вычислению всех натуральных множителей. Для этого будем присваивать t 1 и t 2 значения 0 , 1 , 2 , 3 , 4 и 0 , 1 , вычисляя при этом значения 3 t 1 · 7 t 2 . Результаты будем вносить в таблицу:

t 1 t 2 3 t 1 · 7 t 2
3 0 · 7 0 = 1
1 3 0 · 7 1 = 7
1 3 1 · 7 0 = 3
1 1 3 1 · 7 1 = 21
2 3 2 · 7 0 = 9
2 1 3 2 · 7 1 = 63
3 3 3 · 7 0 = 27
3 1 3 3 · 7 1 = 189
4 3 4 · 7 0 = 81
4 1 3 4 · 7 1 = 567

Ответ: натуральными делителями 567 будут числа 27 , 63 , 81 , 189 , 1 , 3 , 7 , 9 , 21 и 567 .

Продолжим усложнять наши примеры – возьмем четырехзначное число.

Условие: найти все делители 3 900 , которые будут больше 0 .

Решение

Проводим разложение данного числа на простые множители. В каноническом виде оно будет выглядеть как 3 900 = 22 · 3 · 52 · 13 . Теперь приступаем к нахождению положительных делителей, подставляя в выражение 2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4 значения t 1 , равные 0 , 1 и 2 , t 2 = 0 , 1 , t 3 = 0 , 1 , 2 , t 4 = 0 , 1 . Результаты представляем в табличном виде:

t 1 t 2 t 3 t 4 2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4
2 0 · 3 0 · 5 0 · 13 0 = 1
1 2 0 · 3 0 · 5 0 · 13 1 = 13
1 2 0 · 3 0 · 5 1 · 13 0 = 5
1 1 2 0 · 3 0 · 5 1 · 13 1 = 65
2 2 0 · 3 0 · 5 2 · 13 0 = 25
2 1 2 0 · 3 0 · 5 2 · 13 1 = 325
1 2 0 · 3 1 · 5 0 · 13 0 = 3
1 1 2 0 · 3 1 · 5 0 · 13 1 = 39
1 1 2 0 · 3 1 · 5 1 · 13 0 = 15
1 1 1 2 0 · 3 1 · 5 1 · 13 1 = 195
1 2 2 0 · 3 1 · 5 2 · 13 0 = 75
1 2 1 2 0 · 3 1 · 5 2 · 13 1 = 975
Читайте также:  На плоскости отмечены 9 точек
t 1 t 2 t 3 t 4 2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4
1 2 1 · 3 0 · 5 0 · 13 0 = 2
1 1 2 1 · 3 0 · 5 0 · 13 1 = 26
1 1 2 1 · 3 0 · 5 1 · 13 0 = 10
1 1 1 2 1 · 3 0 · 5 1 · 13 1 = 130
1 2 2 1 · 3 0 · 5 2 · 13 0 = 50
1 2 1 2 1 · 3 0 · 5 2 · 13 1 = 650
1 1 2 1 · 3 1 · 5 0 · 13 0 = 6
1 1 1 2 1 · 3 1 · 5 0 · 13 1 = 78
1 1 1 2 1 · 3 1 · 5 1 · 13 0 = 30
1 1 1 1 2 1 · 3 1 · 5 1 · 13 1 = 390
1 1 2 2 1 · 3 1 · 5 2 · 13 0 = 150
1 1 2 1 2 1 · 3 1 · 5 2 · 13 1 = 1950
t 1 t 2 t 3 t 4 2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4
2 2 2 · 3 0 · 5 0 · 13 0 = 4
2 1 2 2 · 3 0 · 5 0 · 13 1 = 52
2 1 2 2 · 3 0 · 5 1 · 13 0 = 20
2 1 1 2 2 · 3 0 · 5 1 · 13 1 = 260
2 2 2 2 · 3 0 · 5 2 · 13 0 = 100
2 1 1 2 2 · 3 0 · 5 2 · 13 1 = 1300
2 1 2 2 · 3 1 · 5 0 · 13 0 = 12
2 1 1 2 2 · 3 1 · 5 0 · 13 1 = 156
2 1 1 2 2 · 3 1 · 5 1 · 13 0 = 60
2 1 1 1 2 2 · 3 1 · 5 1 · 13 1 = 780
2 1 2 2 2 · 3 1 · 5 2 · 13 0 = 300
2 1 2 1 2 2 · 3 1 · 5 2 · 13 1 = 3900

Ответ: делителями числа 3 900 будут: 195 , 260 , 300 , 325 , 390 , 650 , 780 , 975 , 75 , 78 , 100 , 130 , 150 , 156 , 13 , 15 , 20 , 25 , 26 , 30 , 39 , 50 , 52 , 60 , 65 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 10 , 12 , 1 300 , 1 950 , 3 900

Как определить количество делителей конкретного числа

Чтобы узнать, сколько положительных делителей у конкретного числа a, каноническое разложение которого выглядит как a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n , нужно найти значение выражения ( s 1 + 1 ) · ( s 2 + 1 ) · … · ( s n + 1 ) . О количестве наборов переменных t 1 , t 2 , … , t n мы можем судить по величине записанного выражения.

Покажем на примере, как это вычисляется. Определим, сколько будет натуральных делителей у числа 3 900 , которое мы использовали в предыдущей задаче. Каноническое разложение мы уже записывали: 3 900 = 2 2 · 3 · 5 2 · 13 . Значит, s 1 = 2 , s 2 = 1 , s 3 = 2 , s 4 = 1 . Теперь подставим значения s 1 , s 2 , s 3 и s 4 в выражение ( s 1 + 1 ) · ( s 2 + 1 ) · ( s 3 + 1 ) · ( s 4 + 1 ) и вычислим его значение. Имеем ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) · ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) = 3 · 2 · 3 · 2 = 36 . Значит, это число имеет всего 36 делителей, являющихся натуральными числами. Пересчитаем то количество, что у нас получилось в предыдущей задаче, и убедимся в правильности решения. Если учесть и отрицательные делители, которых столько же, сколько и положительных, то получится, что у данного числа всего будет 72 делителя.

Условие: определите, сколько делителей имеет 84 .

Решение

Раскладываем число на множители.

84 42 21 7 1 2 2 3 7

Записываем каноническое разложение: 84 = 2 2 · 3 · 7 . Определяем, сколько у нас получится положительных делителей: ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) · ( 1 + 1 ) = 12 . Для учета отрицательных нужно умножить это число на 2 : 2 · 12 = 24 .

Ответ: всего у 84 будет 24 делителя – 12 положительных и 12 отрицательных.

Как вычислить общие делители нескольких чисел

Зная свойства наибольшего общего делителя, можно утверждать, что количество делителей некоторого набора целых чисел будет совпадать с количеством делителей НОД тех же чисел. Это будет справедливо не только для двух чисел, но и для большего их количества. Следовательно, чтобы вычислить все общие делители нескольких чисел, надо определить их наибольший общий множитель и найти все его делители.

Разберем пару таких задач.

Условие: сколько будет натуральных общих делителей у чисел 140 и 50 ? Вычислите их все.

Решение

Начнем с вычисления НОД ( 140 , 50 ) .

Для этого нам потребуется алгоритм Евклида:

140 = 50 · 2 + 40 , 50 = 40 · 1 + 10 , 40 = 10 · 4 , значит, НОД ( 50 , 140 ) = 10 .

Далее выясним, сколько положительных делителей есть у десяти. Разложим его на простые множители и получим 2 0 · 5 0 = 1 , 2 0 · 5 1 = 5 , 2 1 · 5 0 = 2 и 2 1 · 5 1 = 1 0 . Значит, все натуральные общие делители исходного числа – это 1 , 2 , 5 и 10 , а всего их четыре.

Ответ: данные числа имеют четыре натуральных делителя, равные 10 , 5 , 2 и 1 .

Условие: выясните, сколько общих положительных делителей есть у чисел 585 , 315 , 90 и 45 .

Решение

Вычислим их наибольший общий делитель, разложив число на простые множители. Поскольку 90 = 2 · 3 · 3 · 5 , 45 = 3 · 3 · 5 , 315 = 3 · 3 · 5 · 7 и 585 = 3 · 3 · 5 · 13 , то таким делителем будет 5 : НОД ( 90 , 45 , 315 , 585 ) = 3 · 3 · 5 = 3 2 · 5 .

Чтобы узнать количество этих чисел, нужно выяснить, сколько положительных делителей имеет НОД.

НОД ( 90 , 45 , 315 , 585 ) = 3 2 · 5 : ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) = 6 .

Ответ: у данных чисел шесть общих делителей.

Ссылка на основную публикацию
Сравнить технические характеристики rx330 и rx350
Линейка популярных люксовых SUV Lexus RX пополнилась новой модификацией – RX 350. Теперь покупателем RX быть еще приятнее – ведь...
Сколько рублей получают ютуберы
Видеохостинг YouTube — не только развлекательная площадка, но и хороший источник дохода. Тысячи пользователей выкладывают ролики, пытаясь привлечь внимание аудитории....
Сколько света мотает компьютер
Выбирая комплектующие для персонального компьютера (ПК) обычно обращают внимание на производительность и объем памяти, порой забывая о том, сколько же...
Сравнить процессоры кирин и снапдрагон
Snapdragon 636 vs. Kirin 960: кто лучше? Результаты тестов и сравнительных таблиц, описанных в этой статье, помогут определить, какой из...
Adblock detector