Теорема вильсона подробное доказательство для школьников

Теорема вильсона подробное доказательство для школьников

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Норин Александр Владимирович

Текст научной работы на тему «Об одном обобщении теоремы Вильсона»

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ ВИЛЬСОНА

Широко известная в теории чисел теорема Вильсона (см., например, [1, 2, 3]) допускает простое обобщение, из которого легко получаются некоторые классические результаты и которое является удобным инструментом для решения некоторых учебных задач теории сравнений. Теорема Вильсона.

p — простое число о (p -1)! — -l(mod p). Теорема (Обобщение теоремы Вильсона).

Если p — простое число, то для любого натурального к Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Если p — простое число вида 4n + 3, то

(p -1)!+ !!• (p — 2)! + 21 (p — 3)! + ■■■ + \ = 0 (mod p),

если p — простое число вида 4n + 1, то

(p -1)!+ 1!p — 2)!+ 2!p — 3)! + ■•• + i^-1^ ! =-1 (mod p)

Для доказательства достаточно просуммировать равенство (*) от к = 1 до p +1

Доказанная теорема позволяет во многих случаях легко установить, простым или составным числом является число вида: n ! ± 1. Рассмотрим задачу № 120 из книги [4]. Доказать, что

a) 61! +1 = 0 (mod 71),

b) 63! +1 = 0 (mod 71).

В задаче a) положим p=71 и к = 10. Из формулы (*) имеем 61! • 9! = 1 (mod 71). Так как 9! = -1 (mod 71), то имеет место утверждение а). В задаче b) достаточно положить p=71 и к = 8.

1. К. Айерлэнд, М. Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. М: Мир, 1987.

2. В. Серпинский. Что мы знаем и чего мы не знаем о простых числах. М-Л: ГИФМЛ., 1963.

Читайте также:  Поиск одежды по картинке

3. И.М. Виноградов. Основы теории чисел. М: Наука, 1972.

4. Избранные задачи из журнала "American Mathematical Monthly". М: Мир, 1977.

Теорема Вильсона утверждает, что натуральное число p> 1 является простым числом тогда и только тогда, когда

Как это работает?
1) Мы можем быстро проверить результат для p = 2 или p = 3.

2) Для p> 3: если p составное, то его положительные делители находятся среди целых чисел 1, 2, 3, 4,…, p-1, и ясно, что gcd ((p-1) !, p)> 1, поэтому мы не можем иметь (р-1)! = -1 (мод р).

3) Теперь давайте посмотрим, как именно это -1, когда р простое число. Если p простое число, то все числа из [1, p-1] относительно простые относительно p. И для каждого числа x в диапазоне [2, p-2] должна существовать пара y такая, что (x * y)% p = 1.

Чем это может быть полезно?
Рассмотрим задачу вычисления факториала по модулю простого числа, близкого к входному, т. Е. Мы хотим найти значение «n! % p », что это для деталей).

Смотрите это для большего применения теоремы Вильсона.

Пожалуйста, напишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное, или вы хотите поделиться дополнительной информацией по обсуждаемой теме

p – РТПУФПЕ ЮЙУМП. дМС ЛБЛЙИ ЮЙУЕМ a ТЕЫЕОЙЕН УТБЧОЕОЙС ax ≡ 1 (mod p ) ВХДЕФ УБНП ЮЙУМП a ?

дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ДМС РТПУФПЗП p ( p – 1)! ≡ – 1 (mod p ).

дПЛБЦЙФЕ, ЮФП p – РТПУФПЕ ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ ( p – 2)! ≡ 1 (mod p ).

дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЮЙУМБ p Й p + 2 СЧМСАФУС РТПУФЩНЙ ЮЙУМБНЙ-ВМЙЪОЕГБНЙ ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ 4(( p – 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p ² + 2 p ).

дБОП n ЮЙУЕМ, x 1 , x 2 , . x n , РТЙ ЬФПН x k = ±1. дПЛБЪБФШ, ЮФП ЕУМЙ x 1 x 2 + x 2 x 3 + . + x n x 1 = 0, ФП n ДЕМЙФУС ОБ 4.

уФТБОЙГБ: > [чУЕЗП ЪБДБЮ: 209]

Читайте также:  Какой sql server выбрать для 1с

рТПЕЛФ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС РТЙ РПДДЕТЦЛЕ Й .

Ссылка на основную публикацию
Телефонный шлюз что это
VoIP-шлюз — это межсетевой шлюз, предназначенный для перевода трафика между сетями различных типов. VoIP-шлюзы можно разделить на многоканальные и одноканальные:...
Сравнить технические характеристики rx330 и rx350
Линейка популярных люксовых SUV Lexus RX пополнилась новой модификацией – RX 350. Теперь покупателем RX быть еще приятнее – ведь...
Сравнить процессоры кирин и снапдрагон
Snapdragon 636 vs. Kirin 960: кто лучше? Результаты тестов и сравнительных таблиц, описанных в этой статье, помогут определить, какой из...
Телефонная клавиатура на компьютере
Виртуальная клавиатура выручит Вас, когда выйдет из строя основное физическое устройство ввода, полностью или частично ( поломается несколько клавиш )....
Adblock detector