Точка пересечения биссектрис треугольника это

Точка пересечения биссектрис треугольника это

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и лежащий на биссектрисе угла треугольника.

AL – биссектриса треугольника ABC

Точка пересечения биссектрис треугольника

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка равноудалена от всех сторон треугольника и является центром окружности, вписанной в треугольник.

(I) – точка пересечения биссектрис

Свойство биссектрисы треугольника

Отношение отрезков, на которые биссектриса делит сторону треугольника, равно отношению прилежащих к этим отрезкам сторон треугольника.

Формула длины биссектрисы

Свойство биссектрисы вписанного угла

Биссектриса угла, вписанного в окружность, делит пополам дугу, на которую он опирается. Хорды, стягиваемые дугами, которые стороны данного угла и его биссектриса высекают на окружности, также равны.

Теорема о трилистнике

Пусть биссектриса угла (A) треугольника (ABC) пересекает описанную окружность этого треугольника в точке (W), и пусть (I) – центр вписанной окружности треугольника (ABC). Тогда (WB=WC=WI). При этом (AIcdot WI =2Rr), где (R) и (r) – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника (ABC) соответственно.

Подобные треугольники и метрические соотношения

При обозначениях, показанных на рисунке ((m=CW)),

Определение

Точка соединения биссектрис это одна из самых проблемных точек. Она ведет к пониманию вписанных и описанных фигур, восприятие которых очень затруднено. Приходится думать не только о треугольнике, а еще и об окружностях, вписанной и описанной, что затрудняет решение задачи.

Но с другой стороны, значения радиусов вписанной и описанной окружности фигурирует во многих формулах, что позволяет упростить решение многих задач. Но для начала разберемся, что такое вписанная и описанная окружность, а потом узнаем, как это связано с точкой пересечения биссектрис и связано ли вообще.

Рис. 1. Золотое сечение треугольника

Читайте также:  Сколько стоит дрон почты россии

В произвольном остроугольном треугольнике характерные точки не совпадают, а соединив их можно получить золотое сечение треугольника, для правильного треугольника золотое сечение является точкой. В равнобедренном треугольнике золотое сечение становится линией.

Вписанная окружность, это окружность, которая касается каждой из сторон треугольника.

Центр такой окружности называется инцентром треугольника. При этом, инцетр, или точка пересечения биссектрис тупоугольного треугольника всегда находится внутри треугольника, в отличие от высот.

Расстояние от инцентра до каждой из сторон одинаково и является радиусом вписанной окружности. Треугольник в таком случае будет считаться описанным вокруг окружности.

Рис. 2. Инцентр треугольника

Описанной окружностью считается окружность, касающаяся каждой из вершин треугольника. То есть, каждая вершина должна входить в границу окружности. Треугольник в этом случае наоборот будет считаться вписанным, а расстояние от вершин треугольника до центра окружности будет всегда одинаковым и равным радиусу описанной окружности.

Теоремы о точке пересечения биссектрис

Теорема, на самом деле, одна, но доказательство разбито на две части. Формулировка звучит так: биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром вписанной окружности.

Сначала докажем, что три биссектрисы пересекаются в одной точке. Для этого в треугольнике АВС проведем биссектрисы ВМ, СР и АК. Точку пересечения обозначим О. Тогда рассмотрим каждую биссектрису в отдельности. Для биссектрисы АК расстояния до сторон треугольника а и в, должны быть одинаковы. Для биссектрисы СР расстояния с и а должны быть одинаковы. Для биссектрисы ВМ расстояния в и с должны быть одинаковы. Отрезки а, в и с равны между собой по свойству биссектрисы: любая геометрическая точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла.

А точка равноудаленная от каждой из сторон может быть только одна. Достаточно попробовать поставить точку пересечения в другом месте и сразу станет заметно, что условие не соблюдается, что невозможно.

Читайте также:  Слова состоящие из гласных букв

Рис. 3. Рисунок к задаче

Мы уже сказали, что в треугольнике только одна точка может быть равноудалена от всех сторон. Это означает, что окружность с центром в этой точке будет вписана в треугольник, так как радиус этой окружности будет перпендикулярен стороне треугольника. Теперь докажем, что в треугольнике может быть только одна вписанная окружность. Если точку о переместить в любое другое место треугольника и опустить перпендикуляры на стороны, то станет ясно, что перпендикуляры не равны между собой, а значит в этой точке центр находиться не может. Что и требовалось доказать.

Что мы узнали?

Мы узнали о точке пересечения биссектрис треугольника, выделили и доказали две части теоремы. Доказали, что в треугольнике может быть только одна вписанная окружность и узнали о золотом сечении треугольника.

Как найти точку пересечения биссектрис треугольника по координатам его вершин?

Как найти радиус вписанной в треугольник окружности по координатам его вершин?

Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в этот треугольник окружности.

Эта точка равноудалена от сторон треугольника. Расстояние от точки пересечения биссектрис до сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности.

Следовательно, все три задачи сводятся к нахождению точки пересечения биссектрис треугольника.

Для этого надо сначала составить уравнения биссектрис треугольника и найти точку их пересечения.

Дан треугольник ABC с вершинами в точках A(0;-3), B(12;-12) и C(3,36;-0,48).

1) Найти точку пересечения биссектрис треугольника ABC.

2) Найти радиус вписанной в треугольник ABC окружности.

3) Составить уравнение вписанной в треугольник ABC окружности.

1) Составим уравнения прямых, содержащих стороны треугольника.

Уравнение прямой AC:

Уравнение прямой BC:

Составим уравнение биссектрисы треугольника ABC, исходящей из угла B. Она образована прямыми AB и BC:

Читайте также:  Как пишется слово андроид

откуда уравнения биссектрис угла B: x-y-24=0 или x+y=0. Чтобы понять, которое из двух уравнений является биссектрисой внутреннего угла треугольника, следует подставить в уравнения координаты точек A и C. Поскольку они лежат по разные стороны от биссектрисы внутреннего угла B, то подстановка их координат в уравнение биссектрисы даёт числа разных знаков.

A(0;-3) и C(3,36;-0,48) в x-y-24=0: 0-(-3)-24 0. Получили числа разных знаков, x+y=0 — биссектриса угла B треугольника ABC.

Составим уравнение биссектрисы угла C. Угол C образован прямыми AC и BC, откуда

уравнения биссектрис угла C: 7x-y-24=0 и x+7y=0.

A(0;-3), B(12;-12) в 7x-y-24=0: 7·0-(-3)-24 0. Получили числа разных знаков, значит 7x-y-24=0 — уравнение биссектрисы внутреннего угла C.

Поскольку все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, третью биссектрису находить не требуется.

Точку пересечения биссектрис углов B и C найдём из системы уравнений

O(3;-3) — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.

2) Радиус вписанной в треугольник ABC окружности можно найти как расстояние от точки O до прямой AB, BC или AC. Найдем, например, расстояние от O до AB:

3) Чтобы найти уравнение вписанной в треугольник ABC окружности, в уравнение окружности подставляем координаты центра O(3;-3) и r=9/5:

Ссылка на основную публикацию
Телефонный шлюз что это
VoIP-шлюз — это межсетевой шлюз, предназначенный для перевода трафика между сетями различных типов. VoIP-шлюзы можно разделить на многоканальные и одноканальные:...
Сравнить технические характеристики rx330 и rx350
Линейка популярных люксовых SUV Lexus RX пополнилась новой модификацией – RX 350. Теперь покупателем RX быть еще приятнее – ведь...
Сравнить процессоры кирин и снапдрагон
Snapdragon 636 vs. Kirin 960: кто лучше? Результаты тестов и сравнительных таблиц, описанных в этой статье, помогут определить, какой из...
Телефонная клавиатура на компьютере
Виртуальная клавиатура выручит Вас, когда выйдет из строя основное физическое устройство ввода, полностью или частично ( поломается несколько клавиш )....
Adblock detector