Умножение чисел в разных системах счисления

Умножение чисел в разных системах счисления

Арифметические операции в позиционных системах счисления. Умножение и деление.

Цель урока: показать способы арифметических операций (умножения и деления) чисел в разных системах счисления, проверить усвоение темы «Сложение и вычитание чисел в различных системах счисления».

    образовательные: практическое применение изученного материала по теме «Умножение и деление в различных системах счисления», закрепление и проверка знаний по теме «Сложение и вычитание чисел в различных системах счисления». развивающие: развитие навыков индивидуальной практической работы, умения применять знания для решения задач. воспитательные: достижение сознательного усвоения материала учащимися.

Материалы и оборудование к уроку: карточки для самостоятельной работы, таблицы умножения.

Тип урока: комбинированный урок

Форма проведения урока: индивидуальная, фронтальная.

1. Проверка домашнего задания.

1. № 2.41 (1 и 2 столбик), практикум, стр. 55

А) 11102+10012 =101112

Е) АF16-9716 =1816

2. Самостоятельная работа «Сложение и вычитание чисел в различных системах счисления». (20 минут)

Самостоятельная работа. 10 класс. Двоичная система счисления: перевод 2® 10; сложение.

1. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в десятичную.

2. Сложить два двоичных числа.

11 + 1110 ; 10111+111 ; 110111+101110

3. Вычесть: 10111-111; 11 — 1110

4. Сложить и вычесть в 8-ричной системе: 738 и 258

Самостоятельная работа. 10 класс. Двоичная система счисления: перевод 2® 10; сложение.

1. Выполнить перевод из двоичной системы счисления в десятичную.

2. Сложить два двоичных числа.

1110+111 ; 111+1001 ; 1101+110001

3. Вычесть: 111-1001; 1110+111

4. Сложить и вычесть в 16-ричной системе: 7316 и 2916

3. Новый материал.

1. У м н о ж е н и е

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе

Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример 1. Перемножим числа 5 и 6 в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.


Ответ: 5 . 6 = 3010 = 111102 = 368.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;
368 = 381 + 680 = 30.

Пример 2. Перемножим числа 115 и 51 в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.


Ответ: 115 . 51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;
133518 = 1 . 84 + 3 . 83 + 3 . 82 + 5 . 81 + 1 . 80 = 5865.

2. Д е л е н и е

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.
Пример 3. Разделим число 30 на число 6.


Ответ: 30 : 6 = 510 = 1012 = 58.

Пример 4. Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная: 133518 :1638


Ответ: 5865 : 115 = 5110 = 1100112 = 638.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
1100112 = 25 + 24 + 21 + 20 = 51; 638 = 6 . 81 + 3 . 80 = 51.

Пример 5. Разделим число 35 на число 14.

Восьмеричная: 438 : 168


Ответ: 35 : 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;
2,48 = 2 . 80 + 4 . 8-1 = 2,5.

4. Домашнее задание:

1. Приготовиться к контрольной работе № 2 «По теме Системы счисления. Перевод чисел. Арифметические операции в системах счисления»

2. Практикум Угринович, №2.46, 2.47, стр. 56.

1. Практикум по информатике и информационным технологиям. Учебное пособие для общеобразовательных учреждений / , , . – М.: Бином. Лаборатория Знаний, 2002. 400 с.: ил.

2. Угринович и информационные технологии. Учебник для 10-11 классов. – М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003.

3. Шауцукова : Учебн. пособие для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2003.9 — с. 97-101, 104-107.

Сложение в системах счисления

Как мы складываем в десятичной системе счисления?

Давайте вспомним о том, как мы складываем числа уже привычным нам способом, в десятичной системе счисления.

Читайте также:  Дифференциальные уравнения второго порядка коши

Самое главное стоит понять разряды. Вспомните алфавит каждой СС и тогда вам станет легче.

Сложение в двоичной системе счисления

Сложение в двоичной системе ничем не отличается от сложения в десятичной системе. Главное помнить, алфавит содержит всего две цифры: 0 и 1. Поэтому когда мы складываем 1 + 1, то получаем 0, и увеличиваем число еще на 1 разряд. Посмотрите на пример выше:

  1. Начинаем складывать как и привыкли справа налево. 0 + 0 = 0, значит записываем 0. Переходим к следующему разряду.
  2. Складываем 1 + 1 и получаем 2, но 2 нет в двоичной системе счисления, а значит мы записываем 0, а 1 добавляем к следующему разряду.
  3. У нас получается в этом разряде три единицы складываем 1 + 1 + 1 = 3, этой цифры также быть не может. Значит 3 – 2 = 1. И 1 добавляем к следующему разряду.
  4. У нас вновь получается 1 + 1 = 2. Мы уже знаем, что 2 быть не может, значит записываем 0, а 1 добавляем к следующему разряду.
  5. Складывать больше нечего, значит в ответе получаем: 10100.

Один пример мы разобрали, второй решите самостоятельно:

Сложение в восьмеричной системе счисления

Так же как и в любых других системах счисления необходимо помнить Алфавит. Давайте попробуем сложить выражение.

  1. Все как обычно, начинаем складывать справа налево. 4 + 3 = 7.
  2. 5 + 4 = 9. Девяти быть не может, значит из 9 вычитаем 8, получаем 1. И еще 1 добавляем к следующему разряду.
  3. 3 + 7 + 1 = 11. Из 11 вычитаем 8, получаем 3. И единицу добавляем к следующему разряду.
  4. 6 + 1 = 7.
  5. Складывать далее нечего. Ответ: 7317.

А теперь проделайте сложение самостоятельно:

Сложение в шестнадцатеричной системе счисления

  1. Выполняем уже знакомые нам действия и не забываем про алфавит. 2 + 1 = 3.
  2. 5 + 9 = 14. Вспоминаем Алфавит: 14 = Е.
  3. С = 12. 12 + 8 = 20. Двадцати нет в шестнадцатеричной системе счисления. Значит из 20 вычитаем 16 и получаем 4. И единицу добавляем к следующему разряду.
  4. 1 + 1 = 2.
  5. Больше складывать нечего. Ответ: 24Е3.

Вычетание в системах счисления

Вычитание в десятичной системе счисления

Вспомним, как мы это делаем в десятичной системе счисления.

  1. Начинаем слева направо, от меньшего разряда к большему. 2 – 1 = 1.
  2. 1 – 0 = 1.
  3. 3 – 9 = ? Тройка меньше девяти, поэтому позаимствуем единицу из старшего разряда. 13 – 9 = 4.
  4. Из последнего разряда мы взяли единицу для предыдущего действия, поэтому 4 – 1 = 3.
  5. Ответ: 3411.

Вычитание в двоичной системе счисления

  1. Начинаем как обычно. 1 – 1 = 0.
  2. 1 – 0 = 1.
  3. От 0 отнять единицу нельзя. Поэтому заберем один разряд у старшего. 2 – 1 = 1.
  4. Ответ: 110.

А теперь решите самостоятельно:

Вычитание в восьмеричной системе счисления

  1. Ничего нового, главное помнить алфавит. 4 – 3 = 1.
  2. 5 – 0 = 5.
  3. От 3 отнять 7 мы сразу не можем, для этого нам необходимо заимствовать единицу у более старшего разряда. 11 – 7 = 4.
  4. Помним, что заимствовали единицу ранее, 6 – 1 = 5.
  5. Ответ: 5451.

Пример для самостоятельного решения:

Вычитание в шестнадцатеричной системе счисления

Возьмем предыдущий пример, и посмотрим каков будет результат в шестнадцатеричной системе. Такой же или другой?

  1. 4 – 3 = 1.
  2. 5 – 0 = 5.
  3. От 3 отнять 7 мы сразу не можем, для этого нам необходимо заимствовать единицу у более старшего разряда. 19 – 7 = 12. В шестнадцатеричной системе 12 = С.
  4. Помним, что заимствовали единицу ранее, 6 – 1 = 5
  5. Ответ: 5С51

Пример для самостоятельного решения:

Умножение в системах счисления

Умножение в десятичной системе счисления

Давайте запомним раз и навсегда, что умножение в любой системе счисления на единицу, всегда даст тоже самое число.

  1. Каждый разряд умножаем на единицу, как обычно справа налево, и получаем число 6748;
  2. 6748 умножаем на 8 и получаем число 53984;
  3. Проделываем операцию умножения 6748 на 3. Получаем число 20244;
  4. Складываем все 3 числа, по правилам. Получаем 2570988;
  5. Ответ: 2570988.

Умножение в двоичной системе счисления

В двоичной системе умножать очень легко. Мы всегда умножаем либо на 0, либо на единицу. Главное, это внимательно складывать. Давайте попробуем.

  1. 1101 умножаем на единицу, как обычно справа налево, и получаем число 1101;
  2. Проделываем эту операцию еще 2 раза;
  3. Складываем все 3 числа внимательно, помним про алфавит, не забывая про лесенку;
  4. Ответ: 1011011.
Читайте также:  Прекращена работа программы proxy sa exe

Пример для самостоятельного решения:

Умножение в восьмеричной системе счисления

Есть небольшой лайфхак, как считать в восьмеричной системе. Давайте рассмотрим на примере:

  1. 5 х 4 = 20. А 20 = 2 х 8 + 4. Остаток от деления записываем в число – это будет 4, а 2 держим в уме. Проделываем эту процедуру справа налево и получаем число 40234;
  2. При умножении на 0, получаем четыре 0;
  3. При умножении на 7, у нас получается число 55164;
  4. Теперь складываем числа и получаем – 5556634;
  5. Ответ: 5556634.

Пример для самостоятельного решения:

Умножение в шестнадцатеричной системе счисления

Все как обычно, главное вспомните алфавит. Буквенные цифры, для удобства переводите в привычную для себя систему счисления, как умножите, переводите обратно в буквенное значение.

Давайте для наглядности разберем умножение на 5 числа 20А4.

  1. 5 х 4 = 20. А 20 = 16 + 4. Остаток от деления записываем в число – это будет 4, а 1 держим в уме.
  2. А х 5 + 1 = 10 х 5 + 1 = 51. 51 = 16 х 3 + 3. Остаток от деления записываем в число – это будет 3, а 3 держим в уме.
  3. При умножении на 0, получаем 0 + 3 = 3;
  4. 2 х 5 = 10 = А; В итоге у нас получается А334; Проделываем эту процедуру с двумя другими числами;
  5. Помним правило умножения на 1;
  6. При умножении на В, у нас получается число 1670С;
  7. Теперь складываем числа и получаем – 169В974;
  8. Ответ: 169В974.

Пример для самостоятельного решения:

Деление в системах счисления

С делением все так же, как и в привычной нам десятичной системе счисления.

Деление в двоичной системе счисления

В двоично системе счисления делить гораздо приятней, чем в десятичной системе. Потому что в десятичной надо угадывать числа и постоянно умножать, чтобы у нас получилось нужное значение. А в двоичной системе на какое еще число кроме единицы необходимо умножить, чтобы получить нужное значение? Правильно, ни на какое.

  1. Сколько в 101 получится 11? Правильно, 1. 101 – 11 = 10;
  2. 100 / 11? Так же 1 раз 11 поместится в 100. 100 – 11 = 1;
  3. 11 / 11 = 1, в остатке 0;
  4. Ответ: 111.

Деление в восьмеричной системе счисления

  1. 46 меньше 53, значит делить будем 462. Надо угадать сколько раз число 53 поместиться? Угадываем 7 и записываем;
  2. 53 / 53 = 1. Записываем к ответу, в остатке у нас 0;
  3. Последний 0 мы так же записываем к ответу, так как делить больше нечего;
  4. Ответ: 710.

Деление в шестнадцатеричной системе счисления

Осталось самое страшное – это научиться делить в шестнадцатеричной системе. Да прибудет с нами сила.

  1. 4С мы должны поделить на 2В. Методом подбора определяем что умножить можем только 1 раз. 4С – 2В = 21 и единицу записываем в ответ;
  2. Также методом подбора определяем, что 2В, мы можем умножить на С. 219 – 204 = 15;
  3. Опять, методом подбора определяем, что это 8. 158 – 158 = 0, решение закончено;
  4. Ответ: 1С8.
Конспект урока

Информатика, 10 класс. Урок № 9.

Тема урока — Арифметические операции в позиционных системах счисления

Урок посвящен теме «Арифметические операции в позиционных системах счисления»». В ходе урока школьники научатся складывать, вычитать, умножать и делить в разных позиционных системах счисления.

— позиционные системы счисления,

— арифметические операции в системе счисления с основанием q,

— Информатика. 10 класс: учебник / Л. Л. Босова, А. Ю. Босова. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2016. — 288 с.

— Математические основы информатики: учебное пособие / Е. В. Андреева, Л. Л Босова, И. Н. Фалина — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 328 с.

Мы продолжаем изучать позиционные системы счисления. Вы узнали, что позиционные системы счисления бывают разные: десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Вы научились переводить числа из одной системы счисления в другую. Но зачем нам с вами это надо? Конечно для того, чтобы производить расчеты. С 1 класса нас учат производить расчеты в десятичной системе счисления. А как вы думаете, можно ли производить расчеты в произвольной позиционной системе счисления? И зачем это нужно?

Читайте также:  Как заставить кулер работать на максимум

Двоичная система счисления издавна была предметом пристального внимания многих ученых. Первый кто заговорил о двоичном кодировании, был Лейбниц Готфрид Вильгельм. Он написал трактат «Expication de l’Arithmetique Binary» — об использовании двоичной системы счисления в вычислительных машинах. В рукописи на латинском языке, написанной в марте 1679 года, Лейбниц разъясняет, как выполнять вычисление в двоичной системе, в частности умножение, а позже в общих чертах разрабатывает проект вычислительной машины, работающей в двоичной системе счисления. Вот что он пишет: « Вычисления такого рода можно было бы выполнять и на машине». Эти слова подчеркивают универсальность алфавита, состоящего из двух символов.

Все позиционные системы счисления “одинаковы”, а именно, во всех них выполняются арифметические операции по одним и тем же правилам:

— справедливы одни и те же законы арифметики: коммутативный (переместительный), ассоциативный (сочетательный), дистрибутивный (распределительный);

— справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком.

Мы узнаем на уроке:

  1. как строить таблицы сложения и умножения в заданной позиционной системе счисления;
  2. как выполнять сложение, умножение, вычитание и деление чисел, записанных в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления;
  3. как подсчитывать количество единиц в двоичной записи числа, являющегося результатом суммирования или вычитания степеней двойки.

Арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления.

Чтобы в системе счисления с основанием q получить сумму S двух чисел A и B, надо просуммировать образующие их цифры по разрядам i справа налево:

    если ai + bi 4000 + 4 2016 + 2 2018 – 8 600 + 6

Представим все операнды исходного выражения в виде степеней двойки:

Исходное выражение 2 4000 + 4 2016 + 2 2018 – 8 600 + 6

примет вид 2 4000 + 2 4032 + 2 2018 – 2 1800 + 2 2 + 2 1

Перепишем выражение в порядке убывания степеней: 2 4032 + 2 4000 + 2 2018 – 2 1800 + 2 2 + 2 1

Для работы с десятичными числами вида 2 n полезно иметь в виду следующие закономерности в их двоичной записи:

2 1 = 10 = 1 + 1; 2 2 = 100 = 11 + 1; 2 3 = 1000 = 111 + 1; …

В общем виде

Для натуральных n и m таких, что n > m, получаем:

Эти соотношения позволят подсчитать количество «1» в выражении без вычислений. Двоичные представления чисел 2 4032 и 2 4000 внесут в двоичное представление суммы по одной «1». Разность 2 2018 – 2 1800 в двоичной записи представляет собой цепочку из 218 единиц и следующих за ними 1800 нулей. Слагаемые 2 2 и 2 1 дают ещё 2 единицы.

Так как в задаче надо найти единицы, то получаем:

Итого: 1 + 1 + 218 + 1 + 1 = 222.

Давайте разберем еще одну задачу.

Найдём количество цифр в восьмеричной записи числа, являющегося результатом десятичного выражения: 2 299 + 2 298 + 2 297 + 2 296 .

Двоичное представление исходного числа имеет вид:

Всего в этой записи 300 двоичных символов. При переводе двоичного числа в восьмеричную систему счисления каждая триада исходного числа заменяется восьмеричной цифрой. Следовательно, восьмеричное представление исходного числа состоит из 100 цифр.

Итак, сегодня вы узнали, что арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления. Если необходимо вычислить значение арифметического выражения, операнды которого представлены в различных системах счисления, можно:

  1. все операнды представить в привычной нам десятичной системе счисления;
  2. вычислить результат выражения в десятичной системе счисления;
  3. перевести результат в требуемую систему счисления.

Для работы с десятичными числами вида 2 n , полезно иметь ввиду следующие закономерности в их двоичной записи:

Для натуральных n и m таких, что n > m, получаем:

Выберите выражения, значения которых одинаковые.

Возьми карандаш и подчеркни результат сложения

1. Найди сумму и запиши в двоичной системе счисления 1538 + F916

3. Найди произведение и запиши в двоичной системе счисления 1223 * 112

6. Выполни операцию деления 100100002 / 11002

7. Реши пример, ответ запиши в десятичной системе счисления (5648 + 2348) * C16

2. Разность двоичных чисел 11001100 — 11111

4. Найти разность 1678 – 568

5. Выполнить операцию деления 416128 / 128

8. Найти разность 12E16 – 7916 ответ запиши в десятичной системе счисления

Ссылка на основную публикацию
Телефонный шлюз что это
VoIP-шлюз — это межсетевой шлюз, предназначенный для перевода трафика между сетями различных типов. VoIP-шлюзы можно разделить на многоканальные и одноканальные:...
Сравнить технические характеристики rx330 и rx350
Линейка популярных люксовых SUV Lexus RX пополнилась новой модификацией – RX 350. Теперь покупателем RX быть еще приятнее – ведь...
Сравнить процессоры кирин и снапдрагон
Snapdragon 636 vs. Kirin 960: кто лучше? Результаты тестов и сравнительных таблиц, описанных в этой статье, помогут определить, какой из...
Телефонная клавиатура на компьютере
Виртуальная клавиатура выручит Вас, когда выйдет из строя основное физическое устройство ввода, полностью или частично ( поломается несколько клавиш )....
Adblock detector