Установите соответствие информации представленной в двух множествах

Установите соответствие информации представленной в двух множествах

П.2. Соответствия между множествами. Взаимно однозначные соответствия

Основным объектом математического анализа является «функция». Введем это понятие через понятие «соответствие».

Пусть заданы два множества X и Y. Если для каждого элемента а Î Х указан (один, или несколько, или ни одного) элемент b Î Y, с которым сопоставляется а, то говорят, что между множествами X и Y установлено соответствие (бинарное отношение).

В основе понятия «соответствия» лежит «упорядоченная пара» (короче «пара»).

Определение 1.5. Упорядоченной парой называется множество, состоящее из двух элементов, для которых указан порядок следования. Обозначают (х;у); элемент х называют первой компонентой (координатой), увторой компонентой (координатой) пары.

Определение 1.6. Упорядоченной тройкой (тройкой) называется пара ((х;у), z), первая координата которой – пара (х;у), а вторая – z . Обозначают (х;у; z).

Аналогично определяются упорядоченные четвёрки, пятёрка, и т. д. n-ки.

Определение 1.7. Декартовым (прямым) произведением множеств Х и Y называется множество, состоящее из всех возможных пар (х;у), где , и обозначают .

C помощью символов это определение можно записать так:

Решение. Декартовое произведение Х ´ Y состоит из шести элементов:

Выпишем теперь декартовое произведение

Таким образом, Х ´ Y ¹ Y ´ Х (не выполняется ассоциативный закон). Результат декартового произведения зависит от порядка сомножителей.

Принято считать, что для любого множества Х справедливы равенства:

Множество называется декартовым квадратом.

Если множества X и Y – числовые, то пары элементов (x; y) можно рассматривать как координаты точек на плоскости. В этом случае декартово произведение можно изобразить в декартовой системе координат.

Определение 1.8. Любое подмножество декартового произведения множеств называется соответствием между множествами Х и Y или отношением (бинарным отношением) между элементами множеств Х и Y .

Будем обозначать соответствия маленькими буквами латинского (f, g. ) и греческого (φ, ψ…)алфавитов. Множество всех первых компонент пар из соответствия f называют областью определения соответствия f (обозначают D(f)), а множество всех вторых компонент пар из соответствия f называют областью значения соответствия f (обозначают E(f)).

Пусть f – соответствие между множествами Х и Y. Если , то говорят, что «при соответствии f элемент x соответствует элементу y». В этом случае элемент у называется образом элемента х, а элемент xпрообразом элемента y при соответствии f.

Пример 1.2.Между элементами множеств X = <2, 3, 5, 11>и Y = <6, 7, 9, 10>задано соответствие f : «число x является делителем числа y».

Очевидно, что f – множество пар элементов( f =<(2, 6), (2, 10), (3, 6), (3, 9), (5, 10)>), находящихся в заданном отношении, является подмножеством декартова произведения множеств

Полным образом элемента a из множества X называется множество всех элементов из Y, которые соответствуют элементу а. Обозначают f(а). В частности, для примера 1.2

Полным прообразом элемента b из множества Y называется множество всех элементов из Х, которым b соответствует. Обозначают f –1 (b). В частности, для примера 1.2

Множество всех элементов из X, имеющих непустые образы, называется множеством (областью) определения соответствия, и обозначают D(f), а множество всех элементов из Y, имеющих непустые прообразы – множеством (областью) значений соответствия и обозначают Е(f). Так, в примере 1.2 область определения соответствия f есть множество D(f) =<2, 3, 5>, а множество значений соответствия f есть множество Е(f) = <6, 9, 10>.

Если множества X и Y совпадают, то говорят об отношении между элементами множества X.

Замечание 1.1. Соответствие между множествами можно задавать

а) перечислением пар

г) с помощью графика (если множества числовые)

Соответствия могут быть различных видов. Приступим к их изучению.

Пусть f соответствие между элементами множеств X и Y. Соответствие f называется всюду определенным, если множество D(f) = Х. Если E(f) = Y. Если же E(f) = Y, то соответствие называют сюръективным. На рис. 5 а и 5 б представлено всюду определенное сюръективное соответствие. Соответствия, представленные на рис. 5 в и 5 г, не сюръективны, а соответствие, изображенное на рис. 5 г, не всюду определенное.

Читайте также:  Вариатор преимущества и недостатки

Соответствие называется инъективным, если любой элемент из E(f) соответствует единственному элементу из D(f). На рис. 5 а изображено инъективное соответствие.

Особое место занимают функциональные соответствия.

Определение 1.9. Соответствие f между множествами Х и Y, при котором каждому соответствует один и только один называется функциональным (функцией). Элемент называется аргументом функции f, а соответствующий ему элемент называется значением функции f в точке х.

Определение 1.10. Если область определения функции f состоит из некоторого множества действительных чисел, то f называется функцией одной действительной переменной. Если область определения функции f состоит из упорядоченных n-ок действительных чисел, то f называется функцией n действительных переменных. Если область значений функции f состоит из некоторого множества действительных чисел, то f называется действительной функцией.

Пример 1.3.Среди соответствий, изображенных на рис. 6, функциями будут f и p. Их областями определения будут, соответственно, D(f) = <a, b, c>, D(p) = <a, b, c>, а множествами значений E(f) = <1, 3>, E(p) = <1, 2, 3>.

Если , и f – функциональное соответствие между элементами x и y, то это записывают так: y = f(x) или или

Определение 1.7. Соответствие между элементами множеств Х и Y, при котором каждому элементу множества Х соответствует единственный элемент множества Y, и каждый элемент множества Y соответствует только одному элементу из множества Х, называется взаимно однозначным(или биективным).

Определение 1.8. Множества Х и Y называются эквивалентными, или равномощными, если между ними каким-либо способом можно установить взаимно однозначное соответствие.

Эквивалентность двух множеств обозначается так: X

Пусть задано соответствие f между множествами X и Y. Обратным ему называется соответствие f –1 между множествами Y и X, состоящее из таких пар (у; х), для которых верно, что (х; у) f. Соответствия f и f –1 называют взаимно обратными.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 10409 — | 8027 — или читать все.

Выполняя предложенные задания, мы устанавливаем связь (соответствие) между этими множествами. Ее можно представить наглядно, при помощи графов (рис. 67).

Можно задать эти соответствия, перечислив все пары элементов, плодящихся в заданном соответствии:

Полученные множества показывают, что любое соответствие меж­ду двумя множествами X и Y можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упоря­доченные пары — это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия.

Определение. Соответствием между множествами X и Y назы­вается всякое подмножество декартова произведения этих мно­жеств.

Соответствия принято обозначать буквами Р, S, Т, К и др. ЕслиS-соответствие между элементами множествX иYто, согласно опреде­лению,S с Х х У.

Выясним теперь, как задают соответствия между двумя множест­вами. Поскольку соответствие — это подмножество, то его можно за­давать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либоуказав характеристиче­ское свойство элементов этого подмножества. Так, соответствие меж­ду множествамиX <1, 2, 4, 6>иУ = <3, 5>можно задать:

при помощи предложения с двумя переменными: а -1 , то S -1 = <(2,4), (3,5), (6,8)>.

Рис.70

Условимся предложение «элемент х находится в соответствии S с элементом у» записывать кратко так: хSу. Запись хSу можно рас­сматривать как обобщение записей конкретных соответствий: x= 2у; х > 3у+1 и др.

3. Взаимно-однозначные соответствия

Воспользуемся введенной записью для определения понятия соот­ветствия, обратного данному.

Соответствия S и S -1 называют взаимно обратными. Выясним осо­бенности их графиков.

Построим график соответствия S = <(4, 2), (5, 3), (8, 6)>(рис. 71, а). При построении графика соответствия S -1 = <(2, 4), (3, 5), (6, 8)>мы должны первую компоненту выбирать из множества Y = <2, 3, 6>, а вторую — из множества Х= <4, 5, 8, 10>. В результате график соответст­вия S -1 совпадет с графиком соответствия S. Чтобы различать графики соответствий S и S -1 , условились первую компоненту пары соответ­ствия S -1 считать абсциссой, а вторую — ординатой. Например, если (5, 3) € S, то (3, 5) € S -1 . Точки с координатами (5, 3) и (3, 5), а в об­щем случае (х,у) и (у, х) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Следовательно, графики взаимно обратных соответствий S и S -1 симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Читайте также:  Высота div по высоте родителя

Чтобы построить график соответствия S -1 , достаточно изобразить на координатной плоскости точки, симметричные точкам графикаSотносительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

При пользовании «Инфоуроком» вам не нужно платить за интернет!

Минкомсвязь РФ: «Инфоурок» включен в перечень социально значимых ресурсов .

Тест по теме «Соответствия между множествами»

№ 1. Вставь пропущенные слова в предложении:

Соответствием между множествами X и Y называется любое _________________________________ ________________________________________________________________ Х х Y .

2. На рисунках соответствия между множествами заданы с помощью графов. Укажите граф соответствия, в котором область определения соответствия не совпадает с множеством отправления соответствия.

№ 3. Сопоставьте название способа задания соответствия и его изображение.

1) график, 2) граф, 3) перечисление пар, 4) характеристическое свойство

а) б) а b в) Р = <(2;3), (5;6), (4;5)>г)

№ 4. На каком рисунке изображены графики обратных соответствий?

а) б) в) г)

№ 5. Между множествами М = <А, Б, В, Г, Д>и N = <1, 2, 3, 4, 5>задано соответствие Q : «элемент m идет в русском алфавите под номером n ». Укажите верные утверждения:

Соответствие является взаимно однозначным.

Множества M и N являются равномощными.

Область определения соответствия Q совпадает с его множеством значений.

№ 6. (Практическое задание). Между множествами А = <1, 2, 3, 4, 5>и В = <2, 4, 6, 8,10>задано соответствие Т: «а меньше b на 2»

Перечислите пары соответствия Т

Задайте соответствие Т -1 , обратное данному, перечислите его пары

Постройте графики соответствий Т и Т -1 в одной системе координат

Тест по теме «Соответствия между множествами»

№ 1. Вставь пропущенные слова в предложении:

Соответствием между множествами X и Y называется множество ______________________________, первая компонента которых _____________________ множеству Х, а вторая — ___________________.

2. На рисунках соответствия между множествами заданы с помощью графов. Укажите граф соответствия, в котором множество значений соответствия совпадает с множеством прибытия соответствия.

№ 3. Сопоставьте название способа задания соответствия и его изображение.

1), перечисление пар 2) характеристическое свойство, 3) график, 4) граф

а) б) а b в) Р = <(2;3), (5;6), (4;5)>г)

№ 4. На каком рисунке изображен график взаимно однозначного соответствия?

а) б) в) г)

№ 5. Между множествами А = < 1, 2, 3, 4, >и В = < 2, 4, 6, 8, 9>задано соответствие Q : «а меньше b в 3 раза». Укажите верные утверждения:

Соответствие является взаимно однозначным.

Соответствие « b больше а в 3 раза» является обратным данному.

Область определения соответствия Q не совпадает с его множеством отправления..

№ 6. (Практическое задание). Между множествами М = <1, 2, 3, 4, 5>и N = <1, 2, 4, 6, 8,10>задано соответствие Т: m 2 = n

Перечислите пары соответствия Т.

Перечислите пары соответствия Т -1 , обратного данному, постройте его граф.

Постройте графики соответствий Т и Т -1 в одной системе координат.

Тест по теме «Соответствия между множествами»

Подмножество; декартова произведения множеств

Упорядоченных пар; принадлежит; множеству У

Итого 12 баллов.

10 – 9 баллов – 4

Менее 6 баллов – 2

Тест по теме «Отношения между множествами»

№ 1. Вставь пропущенные слова в предложении:

Отношением на множестве X называется любое _________________________________ ________________________________________________________________ Х х Х.

№ 2. На множестве А = <1, 2, 3, 4, 5, 6>заданы различные отношения:

Рефлексивного отношения

№ 3. По графу определить, какие из отношений являются:

Читайте также:  Размер dia на дисках

отношением параллельности на множестве прямых плоскости

№ 4. На каком рисунке изображен граф отношения между множествами?

а) б) в) г)

№ 5. Сопоставить отношения, заданные на множестве домов и их свойства:

«иметь столько же этажей»

«иметь больше квартир»

«быть построенным раньше на 2 года»

№ 6. (Практическое задание). Постройте граф отношения «х не старше у», заданного на множестве детей. Является ли это отношение отношением порядка?

Тест по теме «Отношения между множествами»

№ 1. Вставь пропущенные слова в предложении:

Отношением на множестве X называется множество ______________________________, обе компоненты которых _____________________ множеству Х.

№ 2. На множестве < 2, 3, 5, 7, 9>заданы различные отношения:

Рефлексивного отношения

Отношения «х делитель у».

3. По графу определить, какие из отношений являются:

отношением «меньше или равно» на множестве N

№ 4. На каком рисунке изображен граф отношения между множествами?

а) б) в) г)

№ 5. Сопоставить отношения, заданные на множестве учащихся класса и их свойства:

«жить на той же улице»

«быть старше на 1 год»

«жить ближе к школе»

№ 6. (Практическое задание). Постройте граф отношения «х имеет тот же пол, что и у», заданного на множестве детей. Является ли это отношение отношением эквивалентности?

Тест по теме «Отношения между множествами»

Подмножество; декартова произведения множества (декартова квадрата)

Упорядоченных пар; принадлежат; множеству Х

1а, 2а, 3а,б, 4б, 5а, 6б, 7б

1б, в, 2в, 3б, 4в, 5б, 6в, 7в

а – 1, 2, 4; б – 3, 4; в – 3

а – 1, 2, 4; б – 3, в – 3, 4

Итого 18 баллов.

16 – 13 баллов – 4

12 – 9 баллов – 3

Менее 9 баллов – 2

Бесплатный
Дистанционный конкурс "Стоп коронавирус"

Данная разработка представляет собой подборку тестов по теме «Соответствия и отношения на множествах». Все материалы, разработанные мной, имеются в электронном и печатном виде. Тесты имеют следующую структуру: содержание теста, правильные ответы, критерий оценки. Таким образом, проверку можно осуществить не только в виде контроля, но и в виде взаимоконтроля и самоконтроля.

Данные тесты можно использовать при обучении студентов по курсу ТОНКМ (теоретические основы начального курса математики) и по курсу МАТЕМАТИКА (ЕН 01) в качестве:

— контрольно оценочных материалов по каждому разделу темы;

— материалов для итогового повторения при подготовке к зачету и экзамену;

— дополнительного материал при изучении темы;

— материала для дистанционного обучения (в электронном виде)

Л.П.Стойлова. МАТЕМАТИКА. Учебное пособие для студентов средних педагогических учебных заведений, М., Академия, 2014

  • Насибулина Лидия ВасильевнаНаписать 0 16.01.2015

Номер материала: 306511

Добавляйте авторские материалы и получите призы от Инфоурок

Еженедельный призовой фонд 100 000 Р

    16.01.2015 1008
    16.01.2015 500
    16.01.2015 6941
    16.01.2015 451
    16.01.2015 463
    16.01.2015 3232
    16.01.2015 370

Не нашли то что искали?

Как организовать дистанционное обучение во время карантина?

Помогает проект «Инфоурок»

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Ссылка на основную публикацию
Усики для автомобильной антенны
Убираясь в бардачке я наткнулся на ремкомплект антенных усиков — лежит наверно уже полгода, всё наклеить не могу, то забываю,...
Телефонный шлюз что это
VoIP-шлюз — это межсетевой шлюз, предназначенный для перевода трафика между сетями различных типов. VoIP-шлюзы можно разделить на многоканальные и одноканальные:...
Телефонная клавиатура на компьютере
Виртуальная клавиатура выручит Вас, когда выйдет из строя основное физическое устройство ввода, полностью или частично ( поломается несколько клавиш )....
Усиление сигнала интернета на даче своими руками
С наступление дачного сезона, я озадачился установкой хорошего скоростного интернет на даче, у нас голосовая связь работает без проблем, а...
Adblock detector