Задачи на момент инерции с решением

Задачи на момент инерции с решением

Определение момента инерции

Момент инерции тела по отношению к оси вращения – это мера инертности тела во вращении вокруг этой оси.

Если тело является непрерывным, то суммирование (1) можно свести к интегрированию, если перейти к бесконечно малым элементам тела (dm):

где интегрирование производят по всему объему тела. Величина r – функция положения материальной точки в пространстве; – плотность тела; dV – элементарный объем тела.

Единицей измерения момента инерции в международной системе единиц является:

Теорема Штейнера

Теорема Штейнера позволяет найти момент инерции тела относительно любой оси вращения, если известен момент инерции рассматриваемого тела относительно оси, которая проходит через центр масс этого тела и оси параллельны. Математическая запись теоремы Штейнера:

где J – момент инерции тела относительно произвольной оси вращения; – момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела; m – масса, рассматриваемого тела; a- расстояние между осями. Обязательно следует помнить, что оси должны быть параллельны.

Получается, что момент инерции тела по отношению к оси, которая проходит через его центр масс всегда меньше, чем относительно любой другой оси, параллельной первой.

Некоторые выражения для вычисления моментов инерции тела

Если осями вращения служат оси прямоугольной декартовой системы координат, то для непрерывного тела моменты инерции можно вычислить как:

где m – масса тела; V – объем тела; – координаты бесконечно малого элемента тела.

Если тело является однородным, то момент инерции по отношению к оси является прямо пропорциональным плотности тела и зависит от формы, размеров тела, то того как тело размещено по отношению к оси вращения.

Моменты инерции, которые находят как:

называют центробежными моментами инерции по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат.

Если тело является набором материальных точек, то есть не является непрерывным, то в выражениях (4-9) вместо интегрирования переходят к суммированию.

Примеры решения задач

Задание Получите формулу для момента инерции однородного шара (J), который имеет радиус R и массу m по отношению к оси, которая проходит через его центр масс.
Решение Сделаем рисунок.

Разобьем весь шар на элементарные массы. Такой массой будет диск радиуса r, на расстоянии h от диска, который проходит через центр масс шара (точку О) (рис.1). Для таких дисков их радиус (r) связан с расстоянием (h) от главного сечения шара (круга, в котором лежит центр масс шара) (см. рис. 1):

причем величина -RR.

Момент инерции для элемента массы запишем как:

где для рассматриваемого диска имеем:

где dh — высота рассматриваемого диска. Тогда элементарный момент инерции (используя выражения (1.2), (1.1) и (1.3)) запишем как:

Для того, чтобы найти момент инерции всего шара, относительно оси, которая проходит через его центр масс возьмем интеграл по объему шара:

Ответ
Задание Каким будет момент инерции шара, который рассматривался в примере 1, относительно оси вращения, которую проведем как касательную к этому шару?
Решение Для решения задачи воспользуемся результатом решения моментом инерции шара относительно оси вращения, которую проводили через центр масс. Обозначив этот момент инерции как :

И будем применять теорему Шрейнера. Учитывая, что шар является фигурой симметричной, мы можем оси вращения располагать как угодно, главное, чтобы они были параллельны. Расстояние между осями по условию задачи равно радиусу шара, поэтому теорему Штейнера запишем как:

Задача 1. Найдите момент инерции шара радиусом относительно оси , находящейся на расстоянии от поверхности шара (рис.3.1).

Дано: , Решение: Записываем теорему Штейнера:
где ,

— момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс; — расстояние между осями. Получаем: .

Рис.3.1

Задача 2.На шнуре, перекинутом через блок в виде однородного цилиндра массой подвешены грузы массами и . Считаем нить невесомой и пренебрегаем трением в блоке. С каким ускорением движутся грузы? Каковы силы натяжения шнура, действующие на грузы во время движения?

Дано: Решение:

; ; . Делаем рисунок, расставляем силы, дейстующие на каждое тело и на блок (рис. 3.2): Рис.3.2

Записываем второй закон Ньютона для каждого тела в векторной и скалярной форме:

(1)

Для блока записываем основное уравнение динамики вращательного движения в векторной и скалярной форме:

, (2)

где — момент сил, — момент инерции блока; — угловое ускорение блока. Подставляя эти выражения в (2), получаем:

, т.е. . (3)

Решая совместно уравнения (1) и (3), получаем:

Читайте также:  Сайт localhost не позволяет установить соединение

. Отсюда:

,

, .

Подставляем числа: ,

,

.

Ответ: , , .

Задача 3. Шар и обруч одинаковой массы и радиуса, изготовленные из одного и того же материала, катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии обруча?

Дано: Решение:

Кинетическая энергия тела, катящегося по поверхности, складывается из кинетической энергии вращательного движения и поступательного движения центра масс:

. (1)

Моменты инерции относительно центра масс обруча (2) и шара (3). Связь линейной и угловой скорости — (4). Подставляя (2), (3) и (4) в (1), получаем:

— для обруча,

— для шара.

Ответ: в 1,4 раза.

Контрольные задания

3.1. Определите момент инерции сплошного однородного диска радиусом 40 см и массой 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярной плоскости диска.

3.2. Два шара одинакового радиуса R = 5 см закреплены на концах невесомого стержня. Расстояние между центрами шаров г = 0,5 м. Масса каждого шара m= 1 кг. Найдите момент инерции сис­темы относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему.

3.3. Определите момент инерции тонкого однородного стержня длиной 50 см и массой 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец.

3.4. Определите момент инерции тонкого однородного стержня длиной 50 см и массой 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на 1/6 его длины.

3.5. Длина тонкого прямого стержня 60 см, масса 100 г. Определите момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной к его длине и проходящей через точку стержня, удаленную на 20 см от одного из его концов.

3.6. Тонкий обруч диаметром 56 см и массой 300 г висит на гвозде, вбитом в стену. Определите его момент инерции относительно этого гвоздя.

3.7. Однородный шарик массой 100 г подвешен на нити, длина которой равна радиусу шарика. Определите момент инерции шарика относительно точки подвеса, если длина нити 20 см.

3.8. Определите момент инерции сплошного однородного цилиндра радиусом 20 см и массой 1 кг относительно оси, проходящей через образующую цилиндра.

3.9. Два шара одинакового радиуса R = 6 см закреплены на концах невесомого стержня. Расстояние между шарами г = 0,8 м. Масса каждого шара m= 2 кг. Найдите момент инерции сис­темы относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему.

3.10. Длина тонкого прямого стержня 60 см, масса 200 г. Определите момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной к его длине и проходящей через точку, лежащую на продолжении стержня, удаленную на 10 см от одного из его концов.

3.11. Через неподвижный блок в виде полого тонкостенного цилиндра массой 160 г перекинута невесомая нить, к концам которой подвешены грузы массами 200 г и 300 г. Пренебрегая трением в оси блока, определите ускорение грузов и силы натяжения.

3.12. На однородный сплошной ци­линдрический вал радиусом 50 см намотана легкая нить, к концу ко­торой прикреплен груз массой 6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ус­корением 2 м/с 2 . Определите мо­мент инерции и массу вала.

3.13. На барабан массой 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 2 кг. Найдите ускорение груза. Барабан считать однородным диском. Трением пренебречь.

3.14. На барабан радиусом 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 1 кг. Найдите момент инер­ции барабана, если известно, что груз опускается с ускорением 2,04 м/с 2 .

3.15. Через подвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой 0,2 кг перекинута не­весомая нить, к концам которой прикреплены тела мас­сами 0,35 кг и 0,55 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определите ускорение грузов и отноше­ние сил натяжения нити.

3.16. Тело массой 0,25 кг, соединенное невесомой нитью посредством блока (в виде полого тонкостенного цилиндра) с телом массой 0,2 кг, скользит по поверхности горизонтального стола (рис. 2.3). Масса блока 0,15 кг. Коэффициент трения тела о поверхность равен 0,2. Пренебрегая трением в подшипниках, определите ускорение, с которым будут двигаться эти тела и силы натяжения нити по обе стороны блока.

3.17. К ободу однородного сплошного диска массой 10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила 30 Н. Определите кинетическую энергию диска через время 4 с после начала действия силы.

3.18. Шар и сплошной цилиндр одинаковой массы, изготовленные из одного и того же материала, катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определите, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра.

Читайте также:  Подключено с ограниченным доступом

3.19. Обруч и диск имеют одинаковую массу и катятся без скольжения с одинаковой линейной скоростью. Кинетическая энергия обруча равна 4 Дж. Найдите кинетическую энергию диска.

3.20. Определите, во сколько раз полная кинетическая энергия обруча, скользящего вдоль наклонной плоскости, меньше полной кинетической энергии обруча, катящегося по наклонной плоскости.

3.21. На скамье Жуковского (вращающаяся без трения платформа) стоит человек и держит в руках стержень по оси скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью 4 рад/с. С какой скоростью будет вращаться скамья с человеком, если стержень повернуть так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи 5 кг·м 2 , длина стержня 2 м, масса 6 кг. Считать, что центр масс стержня с человеком в обоих случаях находится на оси платформы.

3.22. На неподвижной скамье Жуковского стоит человек и держит в руке за ось велосипедное колесо, вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью 25 рад/с. Ось колеса расположена вертикально и совпадает с осью скамьи. С какой скоростью станет вращаться скамья, если повер­нуть колесо вокруг горизонтальной оси на угол 90°? Момент инерции человека и скамьи равен 2,5 кг·м 2 , момент инерции колеса 0,5 кг·м 2 .

3.23. Платформа в виде диска вращается по инерции без трения около вертикальной оси с частотой 14 мин -1 . На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота возросла до 25 мин -1 . Масса человека 70 кг. Определите массу платформы. Момент инерции человека рассчитывать, как для материальной точки.

3.24. Горизонтальная платформа массой 150 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы с частотой 8 мин -1 . Человек массой 70 кг стоит при этом на краю платформы. С какой угловой скоростью начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу круглым однородным диском, а человека — материальной точкой.

3.25. Горизонтальная платформа массой 25 кг и радиусом 0,8м вращается с частотой 18 мин -1 . В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определите частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 3,5 кг·м 2 до 1 кг·м 2 .

3.26. Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной 2,5 м, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции
10 кг·м 2 и вращается с частотой 12 мин -1 . Если стержень повернуть в горизонтальное положение так, что центр стержня совпадет с осью вращения, то частота вращения системы станет 8,5 мин -1 . Определите массу стержня.

3.27. Человек массой 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы радиусом 1 м и массой 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой 10 мин -1 , переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определите работу, совершаемую человеком при переходе от края платформы к ее центру.

3.28. На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром 0,8 м и массой 6 кг стоит человек массой 60 кг. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой 0,5 кг? Траектория мяча горизонтальна и прохо­дит на расстоянии 0.4 м от оси скамьи. Скорость мяча 5 м/с.

3.29. Платформа в виде диска диаметром 3 м и массой 180 кг может вращаться вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью будет вращаться эта платформа, если по ее краю пойдет человек массой 70 кг со скоростью 1,8 м/с относительно платформы?

3.30. В центре вращающегося столика стоит человек, держащий на вытянутых руках на расстоянии 150 см друг от друга две гири. Столик вращается с частотой 1 с -1 . Человек сближает гири до расстояния 80 см, и частота увеличивается до 1,5 с -1 . Определите работу, произведенную человеком, если каждая гиря имеет массу 2 кг. Момент инерции человека относительно оси столика считать постоянным.

Дата добавления: 2014-11-29 ; Просмотров: 11532 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:
Читайте также:  Как сделать видео поверх игры

Задачи по теме: «Момент инерции. Закон сохранения момента инерции и момента импульса».

На барабан радиусом R=0,5 м и с горизонтальной осью вращения намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 10 кг. Найдите момент инерции барабана, если известно, что его угловое ускорение равно . Тернием пренебречь.

m = 10 кг

Вращение барабана происходит под

действием силы F. Из второго закона Ньютона

= ∆ω/∆t = ∆υ/R∆t = a/R → a = εR

M = Jε – момент силы через момент инерции для вращающегося тела.

M = Fd = FR – момент силы вращающей барабан.

По закону сохранения момента сил

J = (m ( g – εR) R)/ ε = 22,5 (кг м²)

Ответ: 22, 5 кг м 2

К ободу однородного диска радиусом R=0,2м массой m=1,2 кг приложена постоянная сила 100 Н, при вращении на диск действует момент силы трения, равный 5 нм. Чему равно угловое ускорение диска?

R = 0, 2 м Из оснавного управления динамики вращательного

m = 1, 2 кг движения M=Jε

F = 100 Н Сила действующая на обод F`= F — Fтр. Из M = 5 нм момента силы трения Fтр = MR = 25 Н

ε = ? Момент силы F`- M=F`R по закону сохранения

J = mR² –момент инерции обруча

Ответ: ε = 312, 5 с -2 .

Шарик, диаметр которого равен 6 см, катится по полу и останавливается через t = 2с, пройдя расстояние S = 70 см. Определите коэффициент трения качения, считая его постоянным.

d = 0, 06 м М=εJ — основное уравнение вращательного движения.

t = 2c J= 0,4mr 2 — момент инерции шара.

S= 0,7м.

M= 0,4 m r 2 a/ r= 0,4 a m r

Момент силы трения M = F тр r

По закону сохранения момента сил

S= at 2 /2 a=2S/t 2 = 1,4/4 = 0,35 м/с 2

Во сколько раз уменьшится угловая скорость вращения человека, если момент инерции изменится от 1 кг м² до 1,25 кг м²?

L 1 = J 1 ω 1 — момент импульса в первом состоянии.

L 2 = J 2 ω 2 — момент импульса во втором состоянии.

L 1 = L 2 — закон сохранения момента импульса.

Ответ:

Найти момент импульса Земного шара М 3 = 6·10 24 кг, R 3 = 6,4·10³ км, если точки поверхности Земли вращаются со скоростью 36 км/ ч.

M 3 = 6·10 24 кг L = Jω J= 0,4 M 3 R 3 ²- момент инерции шара.

R 3 = 6,4·10 6 м ω = υ/ R

υ = 10 мс L = 0,4 M 3 υ R 3 = 15,36·10³º кг м²/с.

Ответ: L = 15, 36·10³º кг м²/с

Комета Галлея движется вокруг солнца по вытянутому эллипсу. Наибольшее удаление от солнца равно 35,2 а. е., а наименьшее удаление — 0,6 а.е.. Найти отношение максимальной скорости кометы к минимальной.

R 1 = 35, 2 а. е. момент импульса при наибольшем

R 2 = 0, 6 а. е. удалении.

момент инерции кометы при наибольшем

момент импульса кометы при

L 1 = L 2 – закон сохранения момента импульса.

Ответ:

Человек стоит на вращающейся с некоторой угловой скоростью платформе. В вытянутых в сторону руках он держит по гире, массой каждой из них m = 5 кг. Расстояние от гирь до оси вращения R 1 =0,71м. Во сколько раз изменится частота вращения человека, если он прижмет к себе руки так, что расстояние от оси вращения до гири станет R 2 = 0,2 м. Момент инерции человека считайте в обоих случаях равным J 0 = 1 кг м.²

m = 5 кг Момент импульса в первом случае

R 1 =0,71м

R 2 = 0,2 м момент инерции в первом случае.

J 0 = 1 кг м²

момент инерции во втором случае.

закон сохранения момента импульса.

Ответ:

Человек массой m 1 = 60 кг находится на неподвижной круглой платформе радиусом R 2 = 10м и массой m 2 = 120 кг, которая может вращаться вокруг своей вертикальной оси. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек станет двигаться по окружности радиусом R 1 = 5м с линейной скоростью υ 1 = 2 м/с относительно платформы.

m 1 = 60 кг момент импульса человека;

R 2 = 10м момент инерции человека.

m 2 = 120 кг

R 1 = 5м

υ 1 = 2 м/с момент импульса платформы

закон сохранения импульса.

Считая Солнце однородным шаром, оцените минимальный радиус и период вращения вокруг своей оси пульсара, который мог бы образоваться после сжатия Солнца под действием силы тяготения при исчерпании внутренних источников энергии, поддерживающих высокую температуру газа. Радиус Солнца R c = 7·10 8 м, период вращения вокруг оси Т с = 2,2·10 6 с. Масса Солнца М с = 2·10³º кг.

R c = 7·10 8 м Момент импульса Солнца

Т с = 2,2·10 6 с

М с = 2·10³º кг момент инерции Солнца

R п = ? Т п = ?

Момент импульса образовавшегося пульсара

По закону сохранения импульса

Вращение пульсара происходит под действием силы тяготения.

Для удобства расчета (*) возведем в квадрат

Ответ: R п =

Ссылка на основную публикацию
Загорелся синий экран на компьютере
Что такое BSoD BSoD — Blue Sceen of Death, синий экран смерти. Появляется в самых критических ситуациях, когда закрытием сбойной...
Для сваренного рака все худшее уже позади
. При хорошей женщине и мужчина может стать человеком. …Когда ни на что не надеешься — это прекрасно… Единственный способ...
Для чего кнопка cpi на мыши
Разнообразие ассортимента компьютерных мышей очевидно, как и разница в цене между моделями с самыми стандартными функциями и более продвинутыми и...
Загрузить счет в 1с
Видеоролик выполнен в программе «1С:Бухгалтерия 8» (релиз 3.0.42.84). Существенно упростить процесс обмена документами между контрагентами, а также снизить затраты на...
Adblock detector