Задачи с факториалами 5 класс

Задачи с факториалами 5 класс

Класс: 5

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (302,2 кБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

  • Дидактические:
  • ввести определение факториала числа;
  • показать использование факториала при решении примеров.
  • Воспитательные:
    • формирование системного мышления;
    • создание у школьников положительной мотивации к выполнению умственной деятельности;
    • повышение общей культуры учащихся.
    • Развивающие:
      • развитие логического мышления, познавательного интереса учащихся;
      • развитие внимания, памяти.
      • Тип урока – изучение нового материала с элементами закрепления.

        Оборудование – презентация к уроку.

        План урока:

        • Организационный момент – 1 мин.
        • Объяснение – 7 мин.
        • Закрепление – 33 мин.
        • Итог – 2 мин.
        • Постановка домашнего задания – 2 мин.

        Этапы урока

        Деятельность учителя

        Деятельность учащихся

        1. Организационый момент Проверяется готовность учеников к уроку. 2. Объяснение (слайды 1-4). Сегодня у нас с вами очень интересная тема «Факториал числа».

        Быль: «Однажды на экзамене…»

        Преподаватель: Прочитайте выражение:

        .

        Студент: Единица, деленная на два-а-а. Плюс единица, деленная на три-и-и. Плюс единица, деленная на четы-ы-ыре.

        Преподаватель: Постойте, постойте…Почему вы кричите?

        Студент: Но там же написаны восклицательные знаки.

        Давайте узнаем, что обозначает символ восклицательного знака в математике.
        Факториалом числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n:

        (n! читается: «эн факториал»).

        Записывают тему урока в тетрадь.

        Записывают определение в тетрадь.

        3. Закрепление (слайды 5-9). Давайте решим следующие примеры:

        , , .

        3. Приведи к несократимому виду дроби:

        , , , , , .

        4. Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю:

        , , , .

        5. Найди значение разностей:

        , , , .

        Запиши следующие две разности и найди их значение. Чему равна разность ?

        Решают примеры, опираясь на введенное определение.

        4. Итог Итак, что такое факториал числа? Отвечают на поставленный вопрос. 5. Постановка домашнего задания. Придумайте 5 примеров
        с использованием факториала числа. Записывают домашнее задание.

        Использованная литература:

        Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г. Математика. 5 класс. Часть 2.- М.: Издательство «Ювента», 2007.

        Факториал – так называют часто встречающуюся в практике функцию, определённую для целых неотрицательных чисел. Название функции происходит от английского математического термина factor – «сомножитель». Обозначается она n!. Знак факториала «!» был введён в1808 году во французском учебнике Хр. Крампа.

        Для каждого целого положительного числа n функция n! равна произведению всех целых чисел от 1 до n.

        Для удобства полагают по определению 0! = 1. О том, что нуль – факториал должен быть по определению равен единице, писал в 1656 году Дж. Валлис в «Арифметике бесконечных».

        Функция n! растёт с увеличением n очень быстро. Так,

        При преобразовании выражений, содержащих факториал, по лезно использовать равенство

        (n + 1)! = (n + 1) • n! = (n + 1) • n • (n – 1)! (1)

        Английский математик Дж. Стирлинг в 1970г. предложил очень удобную формулу для приближённого вычисления функции n!:

        Читайте также:  Верхнее или нижнее расположение блока питания

        где е = 2,7182. — основание натуральных логарифмов.

        Относительная ошибка при пользовании этой формулой очень невелика и быстро падает при увеличении числа n.

        Способы решения выражений, содержащих факториал, рассмотрим на примерах.

        Пример 2. Вычислить 10! 8!

        Решение. Воспользуемся формулой (1):

        Решение. Согласно формуле (1) имеем

        Раскрыв скобки в произведении, получаем квадратное уравнение

        n 2 + 5n — 84 = 0, корнями которого являются числа n = 7 и n = -12. Од нако факториал определен только для неотрицательных целых чисел, т. е. для всех целых чисел n ≥ 0. Поэтому число n = -12 не удовлетворя ет условию задачи. Итак, n = 7.

        Пример 4. Найти хотя бы одну тройку натуральных чисел х, у и z, для которой верно равенство х! = y! • z!.

        Решение. Из определения факториала натурального числа n сле дует, что

        Положим в этом равенстве n + 1 = у! = х, где у — произвольное нату ральное число, получим

        Теперь видим, что искомые тройки чисел можно задать в виде

        где y- натуральное число, больше 1.

        Например, справедливы равенства

        Пример 5. Определить, сколькими нулями оканчивается деся тичная запись числа 32!.

        Решение. Если десятичная запись числа Р = 32! оканчивается k нулями, то число Р можно представить в виде

        где число q не делится на 10. Это означает, что разложение числа q на простые множители не содержит одновременно 2 и 5.

        Поэтому, чтобы ответить на поставленный вопрос, попробуем опреде лить, с какими показателями в произведение 1 • 2 • 3 • 4 • . • 30 • 31 • 32 входят числа 2 и 5. Если число k — наименьший из найденных показателей, то число Р будет оканчиваться k нулями.

        Итак, определим, сколько чисел среди натуральных чисел от 1 до 32 делятся на 2. Очевидно, что их количество равно 32/2 = 16. Затем определим, какое количество среди найденных 16 чисел делится на 4; затем — какое количество из них делится на 8 и т. д. В результате получим, что среди тридцати двух первых натуральных чисел на 2 делится 16 чисел,

        из них на 4 делятся 32/4 = 8 чисел, из них на 8 делятся 32/8 = 4 числа, из них на 16 делятся 32/16 = 2 числа и, наконец, из них на 32 делятся 32/32=1, т.е. одно число. Понятно, что сумма полученных количеств:

        16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31

        равна показателю степени, с которым число 2 входит в 32!.

        Аналогично определим, сколько чисел среди натуральных чисел от 1 до 32 делятся на 5, а из найденного количества на 10. Разделим 32 на 5.

        Получим 32/5 = 6,4. Следовательно, среди натуральных чисел от 1 до 32

        существует 6 чисел, которые делятся на 5. Из них на 25 делится одно

        число, так как 32/25 = 1,28. В результате число 5 входит в число 32! с пока зателем, равным сумме 6+1 = 7.

        Читайте также:  Уличная wifi camera onviz u340 отзывы

        Из полученных результатов следует, что 32!= 2 31 5 7 • т, где число т не делится ни на 2, ни на 5. Поэтому число 32! содержит множитель

        10 7 и, значит, оканчивается на 7 нулей.

        Итак, в данном реферате определено понятие факториала.

        Приведена формула английского математика Дж Стирлинга для приближённого вычисления функции n!

        При преобразовании выражений, содержащих факториал, по лезно использовать равенство

        (n + 1)! = (n + 1) • n! = (n + 1) • n • (n – 1)!

        На примерах подробно рассмотрены способы решения задач с факториалом.

        Факториал используется в различных формулах в комбинаторике, в рядах и др.

        Например, количество способов выстроить n школьников в одну шеренгу равняется n!.

        Число n! равно, например, количеству способов, которыми можно n различных книг расставить на книжной полке, или, например, число 5! равно количеству способов, которыми пять человек можно рассадить на одной скамейке. Или, например, число 27! равно количеству способов, которыми наш класс из 27 учеников можно выстроить в ряд на уроке физкультуры.

        Без году 40 или три по тринадцать

        Армию из тысячи человек собрать легко, трудно найти генерала

        Вообще-то эта история еще на прошлой неделе случилась, но явно не устарела, поэтому сегодня перескажу. Очередная история из серии «Учимся мы с сыном в 5-м классе».

        Прихожу вечером домой с работы и собираюсь традиционно у сына уроки проверять. И тут выясняется, что в домашнем задании по математике у него есть задача, которую не может решить никто. Ни он, ни мама, ни бабушка, ни дедушка… У меня глаза, понятно, загорелись – сейчас папа даст мастер-класс решения нерешаемых школьных задач и повысит свой рейтинг в глазах сына пунктов на 150.

        Папа берет учебник математики за 5-й класс и читает задачу № 807: «Аня, Даша, Лена, Марина и Женя пришли к зубному врачу. Сколькими способами они могут встать в очередь?». Уп-с.

        Папа помнит, что на третьем курсе универа на «Теории Вероятности» его учили решать такие задачи через факториалы. И это называется то ли «число сочетаний», то ли «число размещений» и решается как-то очень просто – факториал от пяти, что-ли…

        Но папа понимает, что это задача взята из учебника для 5-го класса, где факториалов вроде как не должно быть в принципе. Значит, должно быть, какое-то другое решение – простое и понятное пятикласснику. Но все попытки найти это решение к результату не приводят. 5 девочек, 5 мест в очереди – но не 5 х 5 = 25, же, правда?

        Папа начинает листать учебник, чтобы понять какую вообще дети проходят тему, что к ней такие задачи дают. Тема называется «Степени числа: квадрат, куб». Причём тут девочки в очереди и степени числа непонятно в принципе. Папа открывает ответы в конце учебника, но там нет ответа именно на эту задачу!

        Читайте также:  Можно ли перевозить посудомоечную машину лежа

        Папа лезет в Интернет в надежде найти какой-нибудь сайт, посвященный решениям задач по математике для пятиклассников. Зря смеетесь – папа находит и скачивает PDF-файл с ответами к задачам вроде бы этого учебника (по крайней мере, двое из четырех авторов совпадают), но выясняется, что учебник всё же другой и ответ на задачу 807 не имеет ничего общего с девочками и зубными врачами.

        Папа впадает в прострацию. Но тут является счастливый сын и объявляет, что он, кажется, перепутал (!?) – им задали задачу № 801, а он написал «1» похожую на «7» (!!), вот и вышло № 807. 801-я задача, к счастью, действительно связана с квадратами и кубами, и папа с сыном легко и быстро её решают.

        Но неприятный осадок, то остался! На следующее утро папа обращается к знакомым математикам и те объясняют, что это реально задача на факториалы, это действительно число сочетаний, которое считается как 5! (факториал пяти) и равно 5*4*3*2*1=120. Других вариантов решения этой задачи – для пятого класса – математики предложить не могут.

        Следующим вечером папа берет в руки злополучный учебник сына по математике и, внимательно просматривая задания к теме «Степени числа», обнаруживает такие записи: «Подсчитайте: 5!, 4!, 3!». В рот мне ноги — ФАКТОРИАЛЫ! В учебнике по математике для ПЯТОГО КЛАССА! Как ты сделал это, Дэвид Блэйн? Раскукоживай обратно! Папа осторожно спрашивает у сына, что означает вот это «5!». Сын недоуменно пожимает плечами. Папа вкрадчиво спрашивает у сына, слышал ли он раньше слово «факториал» и снова получает отрицательный ответ.

        Папа остается в недоумении — то ли сын эту тему пропустил (может, пока в Таиланд ездили – хотя оттуда мы звонили и все темы, которые они проходили, разбирали), то ли она следующая в их учебном плане (факториалы? в третьей четверти пятого класса?), то ли это какой-то секретный учебник, в который вкраплены задания для вундеркиндов и фанатов теории вероятности.

        Или факториалы сейчас это реально тема пятого класса? Нет, понятно, что папа учился в школе еще при Царе Горохе, но неужели умственная акселерация нового поколения зашла так далеко? Мне всегда казалось, что там в другую сторону всё движется.

        И снова не могу не процитировать Пушкина: «О сколько нам открытий чудных готовит просвещенья дух…». И это только пятый класс, ребята…

        Ссылка на основную публикацию
        Зависимость влажности воздуха от температуры окружающей среды
        Атмосферный воздух нагревается главным образом от почвы и воды за счет поглощенной ими солнечной энер­гии. Этим объясняется более низкая температура...
        Дисперсия суммы двух зависимых случайных величин
        Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величиныD(X) называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания 1 свойство. Дисперсия постоянной...
        Дополнение к атрибуту bloodborne
        Bloodborne, судя по последним оценкам, грозится стать лучшим эксклюзивом PS4 с момента выхода консоли. И, возможно, одной из причин является...
        Задачи с факториалами 5 класс
        Класс: 5 Презентация к уроку Загрузить презентацию (302,2 кБ) Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может...
        Adblock detector